Die Funktionsfahigkeit der Leber zweier Patienten soll untersucht werden. a) Einem Patienten werden 40 mg des Farbstoffs ICG in Form einer verdünnten Lösung injiziert. Sein Körper scheidet pro Minute $$ 20 \% $$ des Farbstoffes aus. Berechne, wie lange es dauert, bis die Hälfe des injizierten Farbstoffs abgebaut ist. b) Ein anderer Patient bekommt 50 mg Farbstoff injiziert. Nach 10 min sind noch $$ 10 \% $$ des Farbstoffes nachweisbar. Arbeitet die Leber dieses Patienten normal? Zur Untersuchung der Funktionsfahigkeit der menschlichen Leber, wird Patienten z. B. der Farbstoff indocyaningrün (ICG) injiziert. Eine gesunde Leber scheidet den Fabbsiof mer einer Halbwertzeit von $$ 3-4 $$ min aus, d h hind ser Zeit ist die injizierte Konzentration aw the Haltte gesunken.

Question

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### Teil a)
Ein Patient erhält **40 mg** ICG, und die Leber scheidet **20 %** des Farbstoffs pro Minute aus. Wir sollen berechnen, wie lange es dauert, bis die Hälfte des injizierten Farbstoffs, also **20 mg**, abgebaut ist.

Die Ausscheidung erfolgt exponentiell nach der Formel:
$$ A(t) = A_0 \times (1 - k)^t $$
wobei:
- $$ A(t) $$ die verbleibende Menge nach $$ t $$ Minuten ist,
- $$ A_0 = 40 mg $$ die Anfangsmenge,
- $$ k = 0{,}2 $$ der prozentuale Abbau pro Minute.

Gesucht ist die Zeit $$ t_{1/2} $$, bei der $$ A(t_{1/2}) = 20 mg $$:
$$
20 = 40 \times (0{,}8)^t \
0{,}5 = (0{,}8)^t \
\ln(0{,}5) = t \times \ln(0{,}8) \
t = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}8)} \approx \frac{-0{,}693}{-0{,}223} \approx 3{,}11 \text{ Minuten}
$$

**Antwort:** Es dauert etwa **3 Minuten**, bis die Hälfte des Farbstoffs abgebaut ist.

### Teil b)
Ein anderer Patient erhält **50 mg** ICG. Nach **10 Minuten** sind noch **10 %** des Farbstoffs nachweisbar. Wir sollen beurteilen, ob die Leber dieses Patienten normal arbeitet.

Für eine gesunde Leber liegt die **Halbwertszeit** von ICG bei **3–4 Minuten**. Gehen wir von einem Mittelwert von **3,5 Minuten** aus:

Nach 10 Minuten durchläuft die Substanz etwa:
$$
\text{Anzahl der Halbwertszeiten} = \frac{10}{3{,}5} \approx 2{,}86
$$
Die verbleibende Menge berechnet sich dann zu:
$$
(0{,}5)^{2{,}86} \approx 0{,}136 \text{ bzw. } 13{,}6 \%
$$
Der gemessene Wert von **10 %** ist etwas niedriger als der erwartete Wert von etwa **13–18 %**, was innerhalb der normalen Schwankungen liegt.

**Antwort:** Ja, die Leber dieses Patienten arbeitet normal, da die Ausscheidung innerhalb des erwarteten Bereichs liegt.
### Teil a) Ein Patient erhält 40 mg ICG, und die Leber scheidet 20 % des Farbstoffs pro Minute aus. Es dauert etwa 3 Minuten, bis die Hälfte des Farbstoffs abgebaut ist. ### Teil b) Ein anderer Patient erhält 50 mg ICG. Nach 10 Minuten sind noch 10 % des Farbstoffs nachweisbar. Die Leber dieses Patienten arbeitet normal, da die Ausscheidung innerhalb des erwarteten Bereichs liegt.

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