Exercice 1 (4 points) On considère la suite définie par récurrence pour $$ n \geq 0 $$ $$ \left\{\begin{array}{l}u_{0}=1 \ u_{1}=1 \ u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}\end{array}\right. $$ $$ \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n} \leq\left(\frac{5}{3}\right)^{n} $$ Montrer par récurrence la propriété suivante : $$ u_{k} \leq\left(\frac{5}{3}\right)^{k} \text { et } u_{k+1} \leq\left(\frac{5}{3}\right)^{k+1} $$ Indice : Pour l'hérédité, à $$ k $$ fixé on suppose que les deux inégalités suivantes sont vraies

Question

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Pour démontrer par récurrence la propriété suivante :

$$
u_{k} \leq \left(\frac{5}{3}\right)^{k} \quad \text{et} \quad u_{k+1} \leq \left(\frac{5}{3}\right)^{k+1}
$$

nous allons procéder en trois étapes : initialisation, hypothèse de récurrence et étape de récurrence.

### Étape 1 : Initialisation

Pour $$ k = 0 $$ et $$ k = 1 $$, nous vérifions les inégalités :

- Pour $$ k = 0 $$ :
  $$
  u_{0} = 1 \quad \text{et} \quad \left(\frac{5}{3}\right)^{0} = 1
  $$
  Donc, $$ u_{0} \leq \left(\frac{5}{3}\right)^{0} $$ est vrai.

- Pour $$ k = 1 $$ :
  $$
  u_{1} = 1 \quad \text{et} \quad \left(\frac{5}{3}\right)^{1} = \frac{5}{3} \approx 1.67
  $$
  Donc, $$ u_{1} \leq \left(\frac{5}{3}\right)^{1} $$ est vrai.

Ainsi, l'initialisation est vérifiée.

### Étape 2 : Hypothèse de récurrence

Supposons que pour un certain $$ k \geq 1 $$, les inégalités suivantes sont vraies :
$$
u_{k} \leq \left(\frac{5}{3}\right)^{k} \quad \text{et} \quad u_{k+1} \leq \left(\frac{5}{3}\right)^{k+1}
$$

### Étape 3 : Étape de récurrence

Nous devons montrer que ces inégalités impliquent que :
$$
u_{k+2} \leq \left(\frac{5}{3}\right)^{k+2}
$$

En utilisant la relation de récurrence de la suite, nous avons :
$$
u_{k+2} = u_{k+1} + u_{k}
$$

En appliquant notre hypothèse de récurrence, nous obtenons :
$$
u_{k+2} \leq \left(\frac{5}{3}\right)^{k+1} + \left(\frac{5}{3}\right)^{k}
$$

Factorisons le membre de droite :
$$
u_{k+2} \leq \left(\frac{5}{3}\right)^{k} \left( \left(\frac{5}{3}\right) + 1 \right)
$$

Calculons $$ \left(\frac{5}{3}\right) + 1 $$ :
$$
\left(\frac{5}{3}\right) + 1 = \left(\frac{5}{3}\right) + \left(\frac{3}{3}\right) = \frac{8}{3}
$$

Ainsi, nous avons :
$$
u_{k+2} \leq \left(\frac{5}{3}\right)^{k} \cdot \frac{8}{3}
$$

Nous devons montrer que :
$$
\left(\frac{5}{3}\right)^{k} \cdot \frac{8}{3} \leq \left(\frac{5}{3}\right)^{k+2}
$$

Cela revient à montrer que :
$$
\frac{8}{3} \leq \left(\frac{5}{3}\right)^{2}
$$

Calculons $$ \left(\frac{5}{3}\right)^{2} $$ :
$$
\left(\frac{5}{3}\right)^{2} = \frac{25}{9} \approx 2.78
$$

Il reste à vérifier que :
$$
\frac{8}{3} \approx 2.67 \leq \frac{25}{9} \approx 2.78
$$

Cette inégalité est vraie. Donc, nous avons :
$$
u_{k+2} \leq \left(\frac{5}{3}\right)^{k+2}
$$

### Conclusion

Nous avons montré que si les inégalités sont vraies pour $$ k $$, alors elles le sont aussi pour $$ k+1 $$. Par le principe de récurrence, nous concluons que pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$ :
$$
u_{n} \leq \left(\frac{5}{3}\right)^{n}
$$

Ainsi, la propriété est démontrée.
Pour démontrer par récurrence que $$ u_{k} \leq \left(\frac{5}{3}\right)^{k} $$ et $$ u_{k+1} \leq \left(\frac{5}{3}\right)^{k+1} $$, on vérifie l'initialisation pour $$ k = 0 $$ et $$ k = 1 $$, puis on suppose que les inégalités sont vraies pour $$ k $$ et on montre qu'elles le sont aussi pour $$ k+1 $$. La propriété est ainsi démontrée pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$.

Exercice 1 (4 points)
On considère la suite définie par récurrence pour

Montrer par récurrence la propriété suivante :

Indice : Pour l’hérédité, à fixé on suppose que les deux inégalités suivantes
sont vraies

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Solución

Étape 1 : Initialisation

Étape 2 : Hypothèse de récurrence

Étape 3 : Étape de récurrence

Conclusion

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