8. \( f(x)=2 x^{3}-4 x^{2}+2 x \); considere que \( F(0)=15 \)

Para encontrar la función \( F(x) \) que es una antiderivada de \( f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 2x \) y que satisface la condición \( F(0) = 15 \), seguimos estos pasos: ### Paso 1: Encontrar la antiderivada general \( F(x) \) Integrar cada término de \( f(x) \): \[ \int f(x) \, dx = \int \left(2x^3 - 4x^2 + 2x\right) dx \] \[ = 2 \int x^3 \, dx - 4 \int x^2 \, dx + 2 \int x \, dx \] \[ = 2 \left(\frac{x^4}{4}\right) - 4 \left(\frac{x^3}{3}\right) + 2 \left(\frac{x^2}{2}\right) + C \] \[ = \frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + x^2 + C \] ### Paso 2: Aplicar la condición inicial \( F(0) = 15 \) Sustituimos \( x = 0 \) en \( F(x) \): \[ F(0) = \frac{1}{2}(0)^4 - \frac{4}{3}(0)^3 + (0)^2 + C = 15 \] \[ 0 + 0 + 0 + C = 15 \implies C = 15 \] ### Paso 3: Escribir la función \( F(x) \) completa \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + x^2 + 15 \] Por lo tanto, la función antiderivada que cumple con las condiciones dadas es: \[ F(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + x^2 + 15 \]