8. $$ f(x)=2 x^{3}-4 x^{2}+2 x $$; considere que $$ F(0)=15 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para encontrar la función $$ F(x) $$ que es una antiderivada de $$ f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 2x $$ y que satisface la condición $$ F(0) = 15 $$, seguimos estos pasos:

### Paso 1: Encontrar la antiderivada general $$ F(x) $$

Integrar cada término de $$ f(x) $$:

$$
\int f(x) \, dx = \int \left(2x^3 - 4x^2 + 2x\right) dx
$$

$$
= 2 \int x^3 \, dx - 4 \int x^2 \, dx + 2 \int x \, dx
$$

$$
= 2 \left(\frac{x^4}{4}\right) - 4 \left(\frac{x^3}{3}\right) + 2 \left(\frac{x^2}{2}\right) + C
$$

$$
= \frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + x^2 + C
$$

### Paso 2: Aplicar la condición inicial $$ F(0) = 15 $$

Sustituimos $$ x = 0 $$ en $$ F(x) $$:

$$
F(0) = \frac{1}{2}(0)^4 - \frac{4}{3}(0)^3 + (0)^2 + C = 15
$$

$$
0 + 0 + 0 + C = 15 \implies C = 15
$$

### Paso 3: Escribir la función $$ F(x) $$ completa

$$
F(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + x^2 + 15
$$

Por lo tanto, la función antiderivada que cumple con las condiciones dadas es:

$$
F(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + x^2 + 15
$$
The function $$ F(x) $$ is $$ \frac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + x^2 + 15 $$.

; considere que

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