Soit la suite \( \left(v_{n}\right) \) telle que : \( v_{0}=2 \) et \( v_{n+1}=3-2 v_{n} \) - Calculer \( v_{1}, v_{2} \) et \( v_{3} \) - Montrer que \( v_{n+2}=4 v_{n}-3 \)

Calculons d'abord les premiers termes de la suite \( (v_n) \). - Pour \( n=0 \), \( v_0 = 2 \). - Pour \( n=1 \) : \[ v_1 = 3 - 2 v_0 = 3 - 2 \times 2 = 3 - 4 = -1. \] - Pour \( n=2 \) : \[ v_2 = 3 - 2 v_1 = 3 - 2 \times (-1) = 3 + 2 = 5. \] - Pour \( n=3 \) : \[ v_3 = 3 - 2 v_2 = 3 - 2 \times 5 = 3 - 10 = -7. \] Nous avons donc les valeurs : \( v_0 = 2, v_1 = -1, v_2 = 5, v_3 = -7 \). Pour montrer que \( v_{n+2} = 4 v_n - 3 \), procédons par récurrence. **Cas de base :** Pour \( n=0 \), \[ v_{2} = 5 \quad \text{et } 4 v_{0} - 3 = 4 \times 2 - 3 = 8 - 3 = 5. \] Donc, la relation est vraie pour \( n=0 \). **Hypothèse de récurrence :** Supposons que cela soit vrai pour un \( n \), c'est-à-dire \( v_{n+2} = 4v_n - 3 \) et \( v_{n+1} = 4v_{n-1} - 3 \). **Pas de récurrence :** Nous devons prouver que cela est vrai pour \( n+1 \) : \[ v_{(n+1)+2} = v_{n+3} = 3 - 2 v_{n+2}. \] En utilisant l'hypothèse de récurrence : \[ = 3 - 2(4v_n - 3) = 3 - 8v_n + 6 = 9 - 8v_n. \] De l'autre côté, considérons \( 4v_{n+1} - 3 \) : \[ = 4(3 - 2 v_n) - 3 = 12 - 8v_n - 3 = 9 - 8v_n. \] Ainsi, nous avons montré que \( v_{n+3} = 4 v_{n+1} - 3 \), donc la relation est vraie. En conclusion, tous les pas sont vérifiés et nous avons établi que \( v_{n+2} = 4v_n - 3 \) pour tous \( n \geq 0 \).