Dato il seguente sistema di equazioni lineari di parametro \( k \in \) \[ \left\{\begin{array}{l} 2 x \quad+5 y+k z=k \\ (3+k) x+5 k y+k z=1 \\ 4 x \quad-3 y+k z=k \end{array}\right. \] per \( k=0 \). si ha: a. Il sistema ammette infinite soluzioni b. Il sistema e amngeneo c. Lesoluzionisono \( \left(\frac{1}{3}, 1,2\right) \) d. Lunica spluzione e quella banale \( (0,0,0) \) e. Nori existono soluzion: Annulla lasseita

Quando impostiamo \( k = 0 \) nel sistema di equazioni, otteniamo: \[ \left\{\begin{array}{l} 2x + 5y = 0 \\ 3x + 5 \cdot 0 \cdot y = 1 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3} \\ 4x - 3y = 0 \end{array}\right. \] Da qui vediamo che la seconda equazione ci dà \( x = \frac{1}{3} \), e se sostituiamo questo valore nella prima e nella terza equazione, possiamo calcolare \( y \) e \( z \). Arrivando a una soluzione unica, la risposta corretta è che il sistema ha una sola soluzione: \( (x, y, z) = \left(\frac{1}{3}, 0, z\right) \) dove \( z \) rimane indefinito. Ora, con un esame attento, vediamo che la scelte riportate non riportano una possibile valutazione di \( y \) e \( z \) e quindi: La risposta corretta è che il sistema non ammette infinite soluzioni. La giusta affermazione quindi è che **l'unica soluzione è quella banale \((0,0,0)\)**, oppure il sistema non ha soluzioni, a seconda della coerenza delle equazioni.