a) Dados los vectores $$ \vec{u}=(\lambda,-1, \lambda) $$ y $$ \vec{v}=\left(\lambda,-9, \frac{d}{6}\right) $$ Hallar $$ \lambda \in \mathbb{R} $$ para que los vectores $$ \vec{u} $$ y $$ \vec{v} $$ sean ortoconales

Question

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Para que dos vectores sean ortogonales se debe cumplir que su producto punto sea igual a $$ 0 $$. Dados

$$
\vec{u}=(\lambda,-1,\lambda) \quad \text{y} \quad \vec{v}=\left(\lambda,-9, \frac{d}{6}\right),
$$

el producto punto es

$$
\vec{u}\cdot\vec{v} = \lambda \cdot \lambda + (-1) \cdot (-9) + \lambda \cdot \frac{d}{6}.
$$

Procedamos paso a paso:

1. Calculemos cada término:
   - Primer término: $$ \lambda \cdot \lambda = \lambda^2 $$.
   - Segundo término: $$ (-1)(-9)=9 $$.
   - Tercer término: $$ \lambda \cdot \frac{d}{6} = \frac{d\lambda}{6} $$.

2. Por lo tanto, el producto punto se expresa como

$$
\lambda^2 + 9 + \frac{d\,\lambda}{6} = 0.
$$

3. Esta ecuación es una ecuación cuadrática en $$\lambda$$:

$$
\lambda^2 + \frac{d}{6}\lambda + 9 = 0.
$$

4. Para obtener las soluciones en $$\lambda$$ utilizamos la fórmula general para ecuaciones cuadráticas, donde $$a=1$$, $$b=\frac{d}{6}$$ y $$c=9$$:

$$
\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
$$

Sustituyendo:

$$
\lambda = \frac{-\frac{d}{6} \pm \sqrt{\left(\frac{d}{6}\right)^2 - 4\cdot1\cdot9}}{2}.
$$

5. Simplifiquemos la expresión:
   - Primero, calculemos el discriminante:

$$
\left(\frac{d}{6}\right)^2 - 4\cdot9 = \frac{d^2}{36} - 36.
$$

- Para escribir el discriminante con denominador común, notemos que $$36 = \frac{36\cdot36}{36} = \frac{1296}{36}$$. Así,

$$
\frac{d^2}{36} - 36 = \frac{d^2 - 1296}{36}.
$$

6. Entonces la expresión para $$\lambda$$ queda:

$$
\lambda = \frac{-\frac{d}{6} \pm \sqrt{\frac{d^2-1296}{36}}}{2} = \frac{-\frac{d}{6} \pm \frac{\sqrt{d^2-1296}}{6}}{2}.
$$

7. Simplificando dividiendo numerador y denominador por $$2$$:

$$
\lambda = \frac{-d \pm \sqrt{d^2-1296}}{12}.
$$

8. Es importante notar que para que $$\lambda$$ sea un número real el discriminante debe ser no negativo:

$$
d^2-1296 \ge 0 \quad \Longrightarrow \quad d^2 \ge 1296,
$$

lo que implica que

$$
|d| \ge 36.
$$

Por lo tanto, los vectores $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ serán ortogonales si y solo si

$$
\lambda = \frac{-d \pm \sqrt{d^2-1296}}{12} \quad \text{con} \quad |d|\ge 36.
$$
Para que los vectores $$\vec{u}$$ y $$\vec{v}$$ sean ortogonales, el valor de $$\lambda$$ debe ser: $$ \lambda = \frac{-d \pm \sqrt{d^2 - 1296}}{12} \quad \text{donde} \quad |d| \geq 36. $$

a) Dados los vectores y
Hallar para que los vectores y sean ortoconales

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