$$ f(x, y, x)=\left(x y^{2} k, e^{x y}+x+x y x\right), \quad f(x, y, x)=\ln \left(x+x^{2}+y^{2}+x^{2}\right) $$ Qalculafl divat, rot it yi grad $$ f $$. $$ \operatorname{grad}(r \varphi)=r \operatorname{grad} \psi+\frac{r}{r} p $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Se pare că funcția $$ f $$ este definită în două forme diferite: una ca vector și alta ca scalar. Voi aborda ambele cazuri separat și voi calcula divergența, rotația (curl) și gradientul corespunzător.

## 1. Funcție Vectorială

### Definiție:
$$
f(x, y, z) = \left( x y^{2}, \ e^{x y} + x + x y z \right)
$$

### Calculul Divergenței ($$ \text{div} \, \mathbf{f} $$):

Divergența unei funcții vectoriale $$ \mathbf{f} = (f_1, f_2) $$ în $$\mathbb{R}^3$$ este definită ca:
$$
\text{div} \, \mathbf{f} = \frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial y} + \frac{\partial f_3}{\partial z}
$$
În cazul nostru, pare că funcția vectorială are doar două componente. Vom presupune că a treia componentă este zero ($$ f_3 = 0 $$).

Calculăm fiecare derivată parțială:
$$
\frac{\partial f_1}{\partial x} = \frac{\partial (x y^{2})}{\partial x} = y^{2}
$$
$$
\frac{\partial f_2}{\partial y} = \frac{\partial (e^{x y} + x + x y z)}{\partial y} = x e^{x y} + x z
$$
$$
\frac{\partial f_3}{\partial z} = \frac{\partial (0)}{\partial z} = 0
$$
Prin urmare,
$$
\text{div} \, \mathbf{f} = y^{2} + x e^{x y} + x z
$$

### Calculul Rotației ($$ \text{rot} \, \mathbf{f} $$):

Rotația unei funcții vectoriale $$ \mathbf{f} = (f_x, f_y, f_z) $$ este dată de:
$$
\text{rot} \, \mathbf{f} = \left( \frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z}, \ \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x}, \ \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y} \right)
$$
Presupunând $$ f_z = 0 $$:
$$
\text{rot} \, \mathbf{f} = \left( 0 - \frac{\partial (e^{x y} + x + x y z)}{\partial z}, \ \frac{\partial (x y^{2})}{\partial z} - 0, \ \frac{\partial (e^{x y} + x + x y z)}{\partial x} - \frac{\partial (x y^{2})}{\partial y} \right)
$$
Calculăm fiecare componentă:
$$
\frac{\partial f_y}{\partial z} = \frac{\partial (e^{x y} + x + x y z)}{\partial z} = x y
$$
$$
\frac{\partial f_x}{\partial z} = \frac{\partial (x y^{2})}{\partial z} = 0
$$
$$
\frac{\partial f_y}{\partial x} = \frac{\partial (e^{x y} + x + x y z)}{\partial x} = y e^{x y} + 1 + y z
$$
$$
\frac{\partial f_x}{\partial y} = \frac{\partial (x y^{2})}{\partial y} = 2 x y
$$
Astfel,
$$
\text{rot} \, \mathbf{f} = \left( -x y, \ 0, \ y e^{x y} + 1 + y z - 2 x y \right)
$$

## 2. Funcție Scalară

### Definiție:
$$
f(x, y, z) = \ln \left( x + x^{2} + y^{2} + z^{2} \right)
$$

### Calculul Gradientului ($$ \nabla f $$):

Gradientul unei funcții scalare $$ f(x, y, z) $$ este dat de:
$$
\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \ \frac{\partial f}{\partial y}, \ \frac{\partial f}{\partial z} \right)
$$
Calculăm fiecare derivată parțială:
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x + x^{2} + y^{2} + z^{2}} (1 + 2x)
$$
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{x + x^{2} + y^{2} + z^{2}} (2y)
$$
$$
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{x + x^{2} + y^{2} + z^{2}} (2z)
$$
Prin urmare,
$$
\nabla f = \left( \frac{1 + 2x}{x + x^{2} + y^{2} + z^{2}}, \ \frac{2y}{x + x^{2} + y^{2} + z^{2}}, \ \frac{2z}{x + x^{2} + y^{2} + z^{2}} \right)
$$

## 3. Observație asupra Formulei Adiționale

Ați menționat următoarea formulă:
$$
\operatorname{grad}(r \varphi) = r \operatorname{grad} \psi + \frac{r}{r} p
$$
Este posibil să fie o eroare de transcriere sau să se refere la operatori în coordonate polare/cilindrice. Pentru a clarifica și a furniza o explicație adecvată, vă rog să furnizați mai multe detalii sau context asupra acestei formule.
Calculul divergenței, rotației și gradientului funcției date: 1. **Divergența ($$ \text{div} \, \mathbf{f} $$)**: $$ \text{div} \, \mathbf{f} = y^{2} + x e^{x y} + x z $$ 2. **Rotație ($$ \text{rot} \, \mathbf{f} $$)**: $$ \text{rot} \, \mathbf{f} = \left( -x y, \ 0, \ y e^{x y} + 1 + y z - 2 x y \right) $$ 3. **Gradient ($$ \nabla f $$)**: $$ \nabla f = \left( \frac{1 + 2x}{x + x^{2} + y^{2} + z^{2}}, \ \frac{2y}{x + x^{2} + y^{2} + z^{2}}, \ \frac{2z}{x + x^{2} + y^{2} + z^{2}} \right) $$ Observație: Formulă adițională nu a fost clară și poate necesita mai multe detalii pentru a fi interpretată corect.

Qalculafl divat, rot it yi grad .

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

1. Funcție Vectorială

Definiție:

Calculul Divergenței ():

Calculul Rotației ():

2. Funcție Scalară

Definiție:

Calculul Gradientului ():

3. Observație asupra Formulei Adiționale

Bonus Knowledge

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions

Qalculafl divat, rot it yi grad .

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

1. Funcție Vectorială

Definiție:

Calculul Divergenței ( ):

Calculul Rotației ( ):

2. Funcție Scalară

Definiție:

Calculul Gradientului ( ):

3. Observație asupra Formulei Adiționale

Bonus Knowledge

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions

Calculul Divergenței ():

Calculul Rotației ():

Calculul Gradientului ():