1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto \( (1,5) \) y tiene de pendiente 2 . 2. Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(4,2) \) y \( B(-5,7) \). 4. Dado el triángulo que quación de la mene por vértices las siguientes coordenadas: A \( (-7,5) \) B \( (8,3) \) C \( (3,-4) \) Encontrar: a. Las ecuaciones de los 3 lados del triángulo. b. La ecuación de la recta paralela al lado \( A B \) y que pasa por el punto \( (-3,2) \) y \( B(1,6) \). c. La ecuación de la recta perpendicular al lado \( B C \) y que pasa por el punto \( (1,1) \). Los vértices de un triángulo son: B \( (2,4) \) C \( (6,-7) \) D \( (-8,-2) \) Calcular las ecuaciones de las rectas que unen los puntos medios de los lados del triángulo.

Claro, a continuación se presentan las soluciones detalladas para cada uno de los problemas planteados: --- ## 1. Ecuación de la recta que pasa por el punto \( (1,5) \) y tiene pendiente 2. ### Solución: La forma punto-pendiente de una recta es: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Donde: - \( m \) es la pendiente. - \( (x_1, y_1) \) es el punto por donde pasa la recta. Dado: - Punto: \( (1,5) \) - Pendiente: \( m = 2 \) Aplicamos la fórmula: \[ y - 5 = 2(x - 1) \] Despejando \( y \): \[ y = 2x - 2 + 5 \\ y = 2x + 3 \] **Ecuación de la recta:** \( y = 2x + 3 \) --- ## 2. Ecuación de la recta que pasa por los puntos \( A(4,2) \) y \( B(-5,7) \). ### Solución: Primero, calculamos la pendiente (\( m \)) de la recta que pasa por los puntos A y B: \[ m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{7 - 2}{-5 - 4} = \frac{5}{-9} = -\frac{5}{9} \] Ahora, utilizamos la forma punto-pendiente con uno de los puntos, por ejemplo, A(4,2): \[ y - 2 = -\frac{5}{9}(x - 4) \] Despejando \( y \): \[ y = -\frac{5}{9}x + \frac{20}{9} + 2 \\ y = -\frac{5}{9}x + \frac{20}{9} + \frac{18}{9} \\ y = -\frac{5}{9}x + \frac{38}{9} \] **Ecuación de la recta:** \( y = -\frac{5}{9}x + \frac{38}{9} \) --- ## 4. Análisis del triángulo con vértices: - A \( (-7,5) \) - B \( (8,3) \) - C \( (3,-4) \) ### a. Ecuaciones de los 3 lados del triángulo. #### Solución: Necesitamos encontrar las ecuaciones de las rectas que unen cada par de puntos: 1. **Lado AB (Entre A y B):** - Puntos: A(-7,5) y B(8,3) - Cálculo de la pendiente (\( m \)): \[ m_{AB} = \frac{3 - 5}{8 - (-7)} = \frac{-2}{15} \] - Usando la forma punto-pendiente con punto A: \[ y - 5 = -\frac{2}{15}(x + 7) \] - Despejando \( y \): \[ y = -\frac{2}{15}x - \frac{14}{15} + 5 \\ y = -\frac{2}{15}x + \frac{61}{15} \] - **Ecuación de AB:** \( y = -\frac{2}{15}x + \frac{61}{15} \) 2. **Lado BC (Entre B y C):** - Puntos: B(8,3) y C(3,-4) - Cálculo de la pendiente (\( m \)): \[ m_{BC} = \frac{-4 - 3}{3 - 8} = \frac{-7}{-5} = \frac{7}{5} \] - Usando la forma punto-pendiente con punto B: \[ y - 3 = \frac{7}{5}(x - 8) \] - Despejando \( y \): \[ y = \frac{7}{5}x - \frac{56}{5} + 3 \\ y = \frac{7}{5}x - \frac{56}{5} + \frac{15}{5} \\ y = \frac{7}{5}x - \frac{41}{5} \] - **Ecuación de BC:** \( y = \frac{7}{5}x - \frac{41}{5} \) 3. **Lado AC (Entre A y C):** - Puntos: A(-7,5) y C(3,-4) - Cálculo de la pendiente (\( m \)): \[ m_{AC} = \frac{-4 - 5}{3 - (-7)} = \frac{-9}{10} = -\frac{9}{10} \] - Usando la forma punto-pendiente con punto A: \[ y - 5 = -\frac{9}{10}(x + 7) \] - Despejando \( y \): \[ y = -\frac{9}{10}x - \frac{63}{10} + 5 \\ y = -\frac{9}{10}x - \frac{63}{10} + \frac{50}{10} \\ y = -\frac{9}{10}x - \frac{13}{10} \] - **Ecuación de AC:** \( y = -\frac{9}{10}x - \frac{13}{10} \) --- ### b. Ecuación de la recta paralela al lado \( AB \) y que pasa por el punto \( (-3,2) \) y \( B(1,6) \). **Nota:** Existe una posible confusión en el enunciado. Se menciona que la recta es paralela a AB y que pasa por dos puntos: \( (-3,2) \) y \( B(1,6) \). Sin embargo, en general, una recta está determinada por dos puntos, y no es necesario que sea paralela a otra. Revisaremos dos posibles interpretaciones: #### Interpretación 1: La recta es paralela a AB y pasa por \( (-3,2) \). ##### Solución: - Pendiente de AB: \( m_{AB} = -\frac{2}{15} \) - Si la recta es paralela a AB, tendrá la misma pendiente. Usamos la forma punto-pendiente con el punto \( (-3,2) \): \[ y - 2 = -\frac{2}{15}(x + 3) \] Despejando \( y \): \[ y = -\frac{2}{15}x - \frac{6}{15} + 2 \\ y = -\frac{2}{15}x - \frac{2}{5} + 2 \\ y = -\frac{2}{15}x + \frac{8}{5} \] **Ecuación de la recta paralela a AB y que pasa por (-3,2):** \( y = -\frac{2}{15}x + \frac{8}{5} \) #### Interpretación 2: La recta pasa por \( (-3,2) \) y \( B(1,6) \). ##### Solución: Calculamos la pendiente: \[ m = \frac{6 - 2}{1 - (-3)} = \frac{4}{4} = 1 \] Usamos la forma punto-pendiente con \( (-3,2) \): \[ y - 2 = 1(x + 3) \\ y = x + 3 + 2 \\ y = x + 5 \] **Ecuación de la recta que pasa por (-3,2) y (1,6):** \( y = x + 5 \) --- ### c. Ecuación de la recta perpendicular al lado \( BC \) y que pasa por el punto \( (1,1) \). #### Solución: Primero, encontramos la pendiente de BC: \[ m_{BC} = \frac{7}{5} \] La pendiente de una recta perpendicular es el negativo recíproco: \[ m_{\perp} = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{5}{7} \] Usamos la forma punto-pendiente con el punto \( (1,1) \): \[ y - 1 = -\frac{5}{7}(x - 1) \] Despejando \( y \): \[ y = -\frac{5}{7}x + \frac{5}{7} + 1 \\ y = -\frac{5}{7}x + \frac{12}{7} \] **Ecuación de la recta perpendicular a BC y que pasa por (1,1):** \( y = -\frac{5}{7}x + \frac{12}{7} \) --- ## 5. Triángulo con vértices: - B \( (2,4) \) - C \( (6,-7) \) - D \( (-8,-2) \) Calcular las ecuaciones de las rectas que unen los puntos medios de los lados del triángulo. ### Solución: Primero, identificamos los lados del triángulo y sus puntos medios. 1. **Lado BC:** - Puntos: B(2,4) y C(6,-7) - Punto medio \( M_{BC} \): \[ M_{BC} = \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{4 + (-7)}{2} \right) = (4, -1.5) \] 2. **Lado CD:** - Puntos: C(6,-7) y D(-8,-2) - Punto medio \( M_{CD} \): \[ M_{CD} = \left( \frac{6 + (-8)}{2}, \frac{-7 + (-2)}{2} \right) = (-1, -4.5) \] 3. **Lado DB:** - Puntos: D(-8,-2) y B(2,4) - Punto medio \( M_{DB} \): \[ M_{DB} = \left( \frac{-8 + 2}{2}, \frac{-2 + 4}{2} \right) = (-3, 1) \] Ahora, encontramos las rectas que unen estos puntos medios: 1. **Recta que une \( M_{BC} \) y \( M_{CD} \):** - Puntos: \( M_{BC}(4, -1.5) \) y \( M_{CD}(-1, -4.5) \) - Cálculo de la pendiente (\( m \)): \[ m = \frac{-4.5 - (-1.5)}{-1 - 4} = \frac{-3}{-5} = \frac{3}{5} \] - Usamos la forma punto-pendiente con \( M_{BC} \): \[ y - (-1.5) = \frac{3}{5}(x - 4) \\ y + 1.5 = \frac{3}{5}x - \frac{12}{5} \\ y = \frac{3}{5}x - \frac{12}{5} - \frac{1.5}{1} \\ y = \frac{3}{5}x - \frac{12}{5} - \frac{3}{2} \\ y = \frac{3}{5}x - \frac{24}{10} - \frac{15}{10} \\ y = \frac{3}{5}x - \frac{39}{10} \] - **Ecuación:** \( y = \frac{3}{5}x - \frac{39}{10} \) 2. **Recta que une \( M_{CD} \) y \( M_{DB} \):** - Puntos: \( M_{CD}(-1, -4.5) \) y \( M_{DB}(-3, 1) \) - Cálculo de la pendiente (\( m \)): \[ m = \frac{1 - (-4.5)}{-3 - (-1)} = \frac{5.5}{-2} = -2.75 \] - Usamos la forma punto-pendiente con \( M_{CD} \): \[ y - (-4.5) = -2.75(x + 1) \\ y + 4.5 = -2.75x - 2.75 \\ y = -2.75x - 2.75 - 4.5 \\ y = -2.75x - 7.25 \] - **Ecuación:** \( y = -2.75x - 7.25 \) 3. **Recta que une \( M_{DB} \) y \( M_{BC} \):** - Puntos: \( M_{DB}(-3,1) \) y \( M_{BC}(4, -1.5) \) - Cálculo de la pendiente (\( m \)): \[ m = \frac{-1.5 - 1}{4 - (-3)} = \frac{-2.5}{7} = -\frac{5}{14} \] - Usamos la forma punto-pendiente con \( M_{DB} \): \[ y - 1 = -\frac{5}{14}(x + 3) \] - Despejando \( y \): \[ y = -\frac{5}{14}x - \frac{15}{14} + 1 \\ y = -\frac{5}{14}x - \frac{15}{14} + \frac{14}{14} \\ y = -\frac{5}{14}x - \frac{1}{14} \] - **Ecuación:** \( y = -\frac{5}{14}x - \frac{1}{14} \) --- ## Resumen de las ecuaciones de las rectas que unen los puntos medios: 1. **Entre \( M_{BC} \) y \( M_{CD} \):** \( y = \frac{3}{5}x - \frac{39}{10} \) 2. **Entre \( M_{CD} \) y \( M_{DB} \):** \( y = -2.75x - 7.25 \) 3. **Entre \( M_{DB} \) y \( M_{BC} \):** \( y = -\frac{5}{14}x - \frac{1}{14} \) --- Si tienes alguna duda o requieres mayor detalle en alguno de los pasos, no dudes en preguntar.