Exercice 10 La directrice des ventes d'un site de jeux vidéo en ligne a recensé 3000 abonnés au 1 er juin 2017. Elle est inquiète car le nombre d'abonnés ne peut être inférieur à 2000 pour avoir un résultat positif. Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année : entre le 1er juin et le 31 octobre, 80 clients \( \quad \) s'abonnent entre le 1er novembre et le 31 mai, le \( \quad \) nombre d'abonnés subit une baisse de \( 5 \% \) de son effectif par rapport à celui du 31 \( \quad \) octobre qui précède. On modélise l'évolution du nombre d'abonnés par une suite. Selon ce modèle, pour tout entier naturel \( n, u_{n} \) désigne le nombre d'abonnés au 1 er juin de l'année \( 2017+n \). On a donc \( u_{0}=3000 \). 1. Justifier que \( u_{1}=2926 \). 2. Justifier que, pour tout entier naturel \( n \), \( u_{n+1}=0,95 u_{n}+76 \). 3. En utilisant le tableur ou la calculatrice, conjecturer le sens de variation de \( \left(u_{n}\right) \). 4. Les craintes de la directrice sont-elles justifiées ?

**Exercício 10** **1. Justificar que \( u_{1} = 2926 \).** Vamos calcular o número de assinantes no dia 1º de junho de 2018 (\( u_{1} \)) com base no modelo fornecido. - **Período de 1º de junho a 31 de outubro:** - Há um acréscimo de 80 assinantes. - Portanto, o número de assinantes após esse período é: \[ 3000 + 80 = 3080 \] - **Período de 1º de novembro a 31 de maio:** - O número de assinantes sofre uma diminuição de 5\%. - Calculamos 5\% de 3080: \[ 0,05 \times 3080 = 154 \] - Assim, o número de assinantes após a diminuição é: \[ 3080 - 154 = 2926 \] Portanto, \( u_{1} = 2926 \). --- **2. Justificar que, para todo inteiro natural \( n \), \( u_{n+1} = 0,95\,u_{n} + 76 \).** Vamos derivar a relation de recorrência com base no modelo dado: - **Entre 1º de junho e 31 de outubro:** - Há um acréscimo fixo de 80 assinantes. - **Entre 1º de novembro e 31 de maio:** - O número de assinantes após o acréscimo sofre uma diminuição de 5\%, ou seja, retém 95\% dos assinantes. Matematicamente, para passar de \( u_{n} \) para \( u_{n+1} \): \[ u_{n+1} = 0,95 \times (u_{n} + 80) \] Distribuindo o 0,95: \[ u_{n+1} = 0,95\,u_{n} + 0,95 \times 80 = 0,95\,u_{n} + 76 \] Portanto, \( u_{n+1} = 0,95\,u_{n} + 76 \). --- **3. Conjeturar o sentido de variação de \( \left(u_{n}\right) \) utilizando o tableur ou calculadora.** Vamos analisar a sequência definida pela relação de recorrência \( u_{n+1} = 0,95\,u_{n} + 76 \) com \( u_{0} = 3000 \). Podemos calcular os primeiros termos para observar o comportamento: \[ \begin{align*} u_{0} &= 3000 \\ u_{1} &= 0,95 \times 3000 + 76 = 2850 + 76 = 2926 \\ u_{2} &= 0,95 \times 2926 + 76 \approx 2789,7 + 76 = 2865,7 \\ u_{3} &= 0,95 \times 2865,7 + 76 \approx 2722,415 + 76 = 2798,415 \\ &\vdots \end{align*} \] Observamos que a sequência está **decrescendo**, aproximando-se de um valor limite. Para determinar esse limite \( U \), resolvemos: \[ U = 0,95\,U + 76 \\ U - 0,95\,U = 76 \\ 0,05\,U = 76 \\ U = \frac{76}{0,05} = 1520 \] Portanto, a sequência \( \left(u_{n}\right) \) **decresce** em direção a 1520. --- **4. As preocupações da diretora são justificadas?** Sim, as preocupações da diretora são justificadas. Conforme demonstrado: - A sequência \( \left(u_{n}\right) \) está **decrescendo** e tende a 1520 assinantes. - Esse valor é **inferior a 2000**, que é o mínimo necessário para obter um resultado positivo. Portanto, de acordo com o modelo, o número de assinantes tende a cair abaixo do limiar de 2000, justificando assim as preocupações da diretora das vendas.