Exercice 10 La directrice des ventes d'un site de jeux vidéo en ligne a recensé 3000 abonnés au 1 er juin 2017. Elle est inquiète car le nombre d'abonnés ne peut être inférieur à 2000 pour avoir un résultat positif. Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année : entre le 1er juin et le 31 octobre, 80 clients $$ \quad $$ s'abonnent entre le 1er novembre et le 31 mai, le $$ \quad $$ nombre d'abonnés subit une baisse de $$ 5 \% $$ de son effectif par rapport à celui du 31 $$ \quad $$ octobre qui précède. On modélise l'évolution du nombre d'abonnés par une suite. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $$ n, u_{n} $$ désigne le nombre d'abonnés au 1 er juin de l'année $$ 2017+n $$. On a donc $$ u_{0}=3000 $$. 1. Justifier que $$ u_{1}=2926 $$. 2. Justifier que, pour tout entier naturel $$ n $$, $$ u_{n+1}=0,95 u_{n}+76 $$. 3. En utilisant le tableur ou la calculatrice, conjecturer le sens de variation de $$ \left(u_{n}\right) $$. 4. Les craintes de la directrice sont-elles justifiées ?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**Exercício 10**

**1. Justificar que $$ u_{1} = 2926 $$.**

Vamos calcular o número de assinantes no dia 1º de junho de 2018 ($$ u_{1} $$) com base no modelo fornecido.

- **Período de 1º de junho a 31 de outubro:**
  - Há um acréscimo de 80 assinantes.
  - Portanto, o número de assinantes após esse período é:
    $$
    3000 + 80 = 3080
    $$

- **Período de 1º de novembro a 31 de maio:**
  - O número de assinantes sofre uma diminuição de 5\%.
  - Calculamos 5\% de 3080:
    $$
    0,05 \times 3080 = 154
    $$
  - Assim, o número de assinantes após a diminuição é:
    $$
    3080 - 154 = 2926
    $$
  
Portanto, $$ u_{1} = 2926 $$.

---

**2. Justificar que, para todo inteiro natural $$ n $$, $$ u_{n+1} = 0,95\,u_{n} + 76 $$.**

Vamos derivar a relation de recorrência com base no modelo dado:

- **Entre 1º de junho e 31 de outubro:**
  - Há um acréscimo fixo de 80 assinantes.

- **Entre 1º de novembro e 31 de maio:**
  - O número de assinantes após o acréscimo sofre uma diminuição de 5\%, ou seja, retém 95\% dos assinantes.

Matematicamente, para passar de $$ u_{n} $$ para $$ u_{n+1} $$:
$$
u_{n+1} = 0,95 \times (u_{n} + 80)
$$
Distribuindo o 0,95:
$$
u_{n+1} = 0,95\,u_{n} + 0,95 \times 80 = 0,95\,u_{n} + 76
$$
Portanto, $$ u_{n+1} = 0,95\,u_{n} + 76 $$.

---

**3. Conjeturar o sentido de variação de $$ \left(u_{n}\right) $$ utilizando o tableur ou calculadora.**

Vamos analisar a sequência definida pela relação de recorrência $$ u_{n+1} = 0,95\,u_{n} + 76 $$ com $$ u_{0} = 3000 $$.

Podemos calcular os primeiros termos para observar o comportamento:

$$
\begin{align*}
u_{0} &= 3000 \
u_{1} &= 0,95 \times 3000 + 76 = 2850 + 76 = 2926 \
u_{2} &= 0,95 \times 2926 + 76 \approx 2789,7 + 76 = 2865,7 \
u_{3} &= 0,95 \times 2865,7 + 76 \approx 2722,415 + 76 = 2798,415 \
&\vdots
\end{align*}
$$

Observamos que a sequência está **decrescendo**, aproximando-se de um valor limite.

Para determinar esse limite $$ U $$, resolvemos:
$$
U = 0,95\,U + 76 \
U - 0,95\,U = 76 \
0,05\,U = 76 \
U = \frac{76}{0,05} = 1520
$$

Portanto, a sequência $$ \left(u_{n}\right) $$ **decresce** em direção a 1520.

---

**4. As preocupações da diretora são justificadas?**

Sim, as preocupações da diretora são justificadas. Conforme demonstrado:

- A sequência $$ \left(u_{n}\right) $$ está **decrescendo** e tende a 1520 assinantes.
- Esse valor é **inferior a 2000**, que é o mínimo necessário para obter um resultado positivo.
  
Portanto, de acordo com o modelo, o número de assinantes tende a cair abaixo do limiar de 2000, justificando assim as preocupações da diretora das vendas.
**Respostas:** 1. **$$ u_{1} = 2926 $$**: Após o acréscimo de 80 assinantes entre junho e outubro, e uma diminuição de 5% entre novembro e maio, o número de assinantes no dia 1º de junho de 2018 é 2926. 2. **Relação de Recorrência**: Para cada ano subsequente, o número de assinantes no próximo 1º de junho é 95% do número atual mais 76 novos assinantes. Matematicamente, $$ u_{n+1} = 0,95\,u_{n} + 76 $$. 3. **Sensação de Variação**: A sequência $$ \left(u_{n}\right) $$ está **decrescendo**, aproximando-se de 1520 assinantes, que é o valor limite. 4. **Justificativa das Preocupações**: Sim, as preocupações da diretora são justificadas. O número de assinantes está diminuindo e tende a cair abaixo dos 2000, o que é necessário para um resultado positivo.

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