5. Determino cuáles polinomios estan completos respecto a cado uno de sus letras $$ \begin{array}{ll} ext { a. } 3 a^{4}-a^{2}+a-a^{3} & ext { c, } 5 y^{4}-8 x^{2}+y-6 \ ext { b. } n^{5}-n^{4}+m^{3}-m+5 & ext { do } x^{5}-b x^{4}+b^{12} x^{3}+b^{4} x-b^{3} x^{2}+7\end{array} $$

Question

5. Determino cuáles polinomios estan completos respecto a cado uno de sus letras $$ \begin{array}{ll}	ext { a. } 3 a^{4}-a^{2}+a-a^{3} & 	ext { c, } 5 y^{4}-8 x^{2}+y-6 \ 	ext { b. } n^{5}-n^{4}+m^{3}-m+5 & 	ext { do } x^{5}-b x^{4}+b^{12} x^{3}+b^{4} x-b^{3} x^{2}+7\end{array} $$

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Vamos a analizar cada polinomio considerando que decimos que un polinomio es "completo" en una variable si, en él, aparecen (explícitamente o mediante coeficiente 0) todos los monomios de esa variable desde el grado 0 hasta el grado máximo que aparece.

Aclaración: Aunque en un polinomio se pueden omitir algunos términos (entendiéndose que su coeficiente es 0), si el enunciado pide determinar si está “completo” se entiende que se requiere encontrar TODOS los exponentes intermedios expresados.

Procedamos caso por caso.

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Caso a.  3a⁴ – a² + a – a³

Variable: a  
– El grado máximo es 4 (término 3a⁴).  
– Los términos que aparecen son:
  • a⁴ (coeficiente 3)
  • a³ (coeficiente –1, de –a³)
  • a² (coeficiente –1)
  • a¹ (coeficiente 1)
– Falta el término independiente (a⁰).

Por tanto, en la variable a no aparece el término de grado 0, por lo que el polinomio no es completo respecto a a.

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Caso b.  n⁵ – n⁴ + m³ – m + 5

Aquí tenemos dos variables: n y m.

• Respecto a n:
  – Los términos que contienen n son n⁵ y –n⁴.
  – El máximo grado en n es 5, de modo que para que fuera completo esperaríamos tener los grados: 5, 4, 3, 2, 1 y 0.
  – Sólo aparecen los términos de grado 5 y 4; aunque el 5 (constante) es, en principio, el término independiente, éste se entiende como n⁰ pero se “asocia” a ambos n y m. En definitiva, faltan los términos en n³, n² y n¹.
  Por tanto, respecto a n no es completo.

• Respecto a m:
  – Los términos con m son m³ y –m (que es m¹).
  – El grado máximo es 3, para lo que se requeriría tener: m³, m², m¹ y m⁰.
  – Aquí aparece m³, falta m²; m¹ aparece y además el 5 puede considerarse como el término m⁰.
  Falta el término de grado 2 en m.
  Por tanto, respecto a m no es completo.

En conclusión, el polinomio b no es completo en ninguna de sus variables.

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Caso c.  5y⁴ – 8x² + y – 6

Variables: x e y.

Analicemos cada una:

• Respecto a y:
  – Se observa el término 5y⁴ (grado 4) y y (grado 1).  
  – Además, –6 es el término independiente, que se considera y⁰.
  – Para que el polinomio en y sea completo (recordando que el grado máximo es 4) se deberían tener los grados: 4, 3, 2, 1 y 0.
  – Faltan los términos de grado 3 y 2 en y.
  Por tanto, no es completo en y.

• Respecto a x:
  – Aparece –8x² (grado 2). Además, –6 es el término independiente (x⁰).
  – Para completar respecto a x (grado máximo 2) deben aparecer los grados: 2, 1 y 0.
  – Falta el término en x de grado 1.
  Por tanto, no es completo en x.

En consecuencia, el polinomio c no es completo respecto a ninguna de sus letras.

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Caso d.  x⁵ – b x⁴ + b¹² x³ + b⁴ x – b³ x² + 7

Variables: x y b.

Primero, examinamos la variable x.

• Respecto a x:
  – Se tienen los siguientes términos (escribiendo cada uno con su exponente en x):
   – x⁵   (grado 5; coeficiente implícito 1, sin factor b, es decir, b⁰).
   – –b x⁴  (grado 4).
   – b¹² x³ (grado 3).
   – –b³ x² (grado 2).
   – b⁴ x   (grado 1).
   – 7    (que es 7·x⁰).
  – Para que esté completo respecto a x en el rango de 0 a 5 se requiere tener grados: 5, 4, 3, 2, 1 y 0.
  – En efecto, aparecen todos.
  Por tanto, el polinomio es completo respecto a x.

Ahora, examinamos la variable b.

• Respecto a b:
  – Cada término tiene asociado un exponente en b:
   – x⁵: se entiende como b⁰.
   – –b x⁴: b¹.
   – b¹² x³: b¹².
   – –b³ x²: b³.
   – b⁴ x: b⁴.
   – 7: se entiende como b⁰.
  – El grado máximo en b es 12 (del término b¹² x³).
  – Para que el polinomio en b sea completo se requeriría tener los términos con b elevado a todas las potencias de 0 hasta 12: 0, 1, 2, 3, …, 12.
  – Se observan: b⁰, b¹, b³, b⁴ y b¹²; faltan muchos (por ejemplo, b², b⁵, b⁶, …, b¹¹).
  Por tanto, respecto a b, el polinomio no es completo.

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Resumen de respuestas:

a) 3a⁴ – a² + a – a³  
  No es completo en a (falta el término de grado 0).

b) n⁵ – n⁴ + m³ – m + 5  
  No es completo respecto a n (faltan n³, n² y n) ni respecto a m (falta m²).

c) 5y⁴ – 8x² + y – 6  
  No es completo respecto a y (faltan y³ y y²) ni respecto a x (falta el término en x de grado 1).

d) x⁵ – b x⁴ + b¹² x³ + b⁴ x – b³ x² + 7  
  • Es completo en x (se tienen todos los grados del 5 al 0).  
  • No es completo en b (faltan varios exponentes entre 0 y 12).

Esta es la solución final.
Los polinomios: a. 3a⁴ – a² + a – a³ No es completo en a (falta el término de grado 0). b. n⁵ – n⁴ + m³ – m + 5 No es completo en n (faltan n³, n² y n) y en m (falta m²). c. 5y⁴ – 8x² + y – 6 No es completo en y (faltan y³ y y²) y en x (falta el término en x de grado 1). d. x⁵ – b x⁴ + b¹² x³ + b⁴ x – b³ x² + 7 Es completo en x (todos los grados del 5 al 0), pero no es completo en b (faltan varios exponentes entre 0 y 12).

Determino cuáles polinomios estan completos
respecto a cado uno de sus letras

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