3- Determine pura qued múmeros reales estan definidas on IV las siguientes expresiones: 11) $$ \sqrt{5 y^{3}-y^{2}} $$ b) $$ \sqrt[f]{\frac{4-2 x}{3 x+7}} $$ c) $$ \frac{(11 b-8)^{5 / 2}}{b^{2}-16 b} $$ d) $$ \frac{1}{\sqrt[4]{x^{2}-5}}-\frac{5}{x+4} $$ 4- La relación cntro grados Celsius $$ C $$ y grados Fahrenheit F está dada por $$ \mathrm{C}=\frac{5}{9}(\mathrm{~F}-32) $$ 4) Determine el intervalo en la escala Fahrenheit que corresponde a $$ 40 \leq \mathrm{C} \leq 60 $$. b) Determine el intervalo en la escala Celsius que curresponde a $$ 50 \leq \mathrm{F} \leq 95 $$ 5- Un proyectil es aisparado hacia arriba desde el suclo. La posicion en metros, es $$ 5=-3 t^{2}+30 $$ t, donde, se mide en segundos ¿Cuándo excederílos 72 m del suelo?

Question

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Claro, vamos a resolver cada uno de los problemas planteados. --- ## **Problema 3** **Determinar para qué números reales están definidas las siguientes expresiones:** ### **a) $$ \sqrt{5 y^{3}-y^{2}} $$** La expresión dentro de la raíz cuadrada debe ser mayor o igual que cero: $$ 5y^3 - y^2 \geq 0 $$ Factorizamos: $$ y^2 (5y - 1) \geq 0 $$ Los puntos críticos son $$ y = 0 $$ y $$ y = \frac{1}{5} $$. Analizamos los intervalos: 1. **$$ y < 0 $$**: - $$ y^2 > 0 $$ - $$ 5y - 1 < 0 $$ - Producto: $$ (positivo) \times (negativo) = negativo $$ - No es válido. 2. **$$ 0 \leq y < \frac{1}{5} $$**: - $$ y^2 \geq 0 $$ - $$ 5y - 1 < 0 $$ - Producto: $$ (no negativo) \times (negativo) = no positivo $$ - Solo $$ y = 0 $$ cumple $$ = 0 $$. 3. **$$ y \geq \frac{1}{5} $$**: - $$ y^2 \geq 0 $$ - $$ 5y - 1 \geq 0 $$ - Producto: $$ (no negativo) \times (no negativo) = no negativo $$ - Válido. **Dominio:** $$ y \geq \frac{1}{5} \quad \text{o} \quad y = 0 $$ ### **b) $$ \sqrt[f]{\frac{4-2x}{3x+7}} $$** Asumo que $$ \sqrt[f]{\cdot} $$ se refiere a una raíz cualquiera, posiblemente una raíz par o impar. Sin embargo, por claridad, consideraré la raíz cuadrada (par). Para que la expresión sea real: 1. El denominador no puede ser cero: $$ 3x + 7 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{7}{3} $$ 2. El radicando debe ser mayor o igual que cero (si la raíz es de índice par): $$ \frac{4 - 2x}{3x + 7} \geq 0 $$ Resolvemos la inecuación: - Encontramos los puntos críticos: $$ 4 - 2x = 0 \Rightarrow x = 2 $$ y $$ 3x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{3} $$. - Dividimos la recta numérica en intervalos y analizamos el signo: 1. **$$ x < -\frac{7}{3} $$**: - $$ 4 - 2x > 0 $$ - $$ 3x + 7 < 0 $$ - $$ \frac{4 - 2x}{3x + 7} < 0 $$ 2. **$$ -\frac{7}{3} < x < 2 $$**: - $$ 4 - 2x > 0 $$ - $$ 3x + 7 > 0 $$ - $$ \frac{4 - 2x}{3x + 7} > 0 $$ 3. **$$ x > 2 $$**: - $$ 4 - 2x < 0 $$ - $$ 3x + 7 > 0 $$ - $$ \frac{4 - 2x}{3x + 7} < 0 $$ **Dominio:** $$ -\frac{7}{3} < x \leq 2 $$ ### **c) $$ \frac{(11b - 8)^{5/2}}{b^{2} - 16b} $$** Para que la expresión esté definida: 1. El denominador no puede ser cero: $$ b^{2} - 16b \neq 0 \Rightarrow b(b - 16) \neq 0 \Rightarrow b \neq 0 \quad \text{y} \quad b \neq 16 $$ 2. El radicando de la potencia de exponente fraccionario (si es raíz par) debe ser no negativo: Como el exponente $$ 5/2 $$ implica una raíz cuadrada, debemos tener: $$ 11b - 8 \geq 0 \Rightarrow b \geq \frac{8}{11} $$ **Dominio:** $$ b \geq \frac{8}{11} \quad \text{y} \quad b \neq 16 $$ ### **d) $$ \frac{1}{\sqrt[4]{x^{2} - 5}} - \frac{5}{x + 4} $$** Para que la expresión esté definida: 1. El denominador del primer término no puede ser cero y la raíz de índice par requiere que el radicando sea positivo: $$ x^{2} - 5 > 0 \Rightarrow x^{2} > 5 \Rightarrow x < -\sqrt{5} \quad \text{o} \quad x > \sqrt{5} $$ 2. El denominador del segundo término no puede ser cero: $$ x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4 $$ **Dominio:** $$ x < -\sqrt{5} \quad \text{o} \quad x > \sqrt{5} \quad \text{y} \quad x \neq -4 $$ --- ## **Problema 4** **La relación entre grados Celsius $$ C $$ y grados Fahrenheit $$ F $$ está dada por:** $$ C = \frac{5}{9}(F - 32) $$ ### **a) Determinar el intervalo en la escala Fahrenheit que corresponde a $$ 40 \leq C \leq 60 $$.** Despejamos $$ F $$ en términos de $$ C $$: $$ C = \frac{5}{9}(F - 32) \Rightarrow F = \frac{9}{5}C + 32 $$ Aplicamos los límites dados: 1. Para $$ C = 40 $$: $$ F = \frac{9}{5} \times 40 + 32 = 72 + 32 = 104 \, °F $$ 2. Para $$ C = 60 $$: $$ F = \frac{9}{5} \times 60 + 32 = 108 + 32 = 140 \, °F $$ **Intervalo en Fahrenheit:** $$ 104 \leq F \leq 140 \, °F $$ ### **b) Determinar el intervalo en la escala Celsius que corresponde a $$ 50 \leq F \leq 95 $$.** Usamos la misma relación: $$ C = \frac{5}{9}(F - 32) $$ Aplicamos los límites dados: 1. Para $$ F = 50 $$: $$ C = \frac{5}{9}(50 - 32) = \frac{5}{9} \times 18 = 10 \, °C $$ 2. Para $$ F = 95 $$: $$ C = \frac{5}{9}(95 - 32) = \frac{5}{9} \times 63 \approx 35 \, °C $$ **Intervalo en Celsius:** $$ 10 \leq C \leq 35 \, °C $$ --- ## **Problema 5** **Un proyectil es lanzado hacia arriba desde el suelo. La posición en metros está dada por:** $$ s(t) = -3t^{2} + 30t $$ Donde $$ t $$ se mide en segundos. **¿Cuándo excederá los 72 m del suelo?** Buscamos los tiempos $$ t $$ para los cuales $$ s(t) > 72 $$: $$ -3t^{2} + 30t > 72 $$ Llevamos todo a un lado de la desigualdad: $$ -3t^{2} + 30t - 72 > 0 $$ Multiplicamos por -1 (y cambiamos el sentido de la desigualdad): $$ 3t^{2} - 30t + 72 < 0 $$ Simplificamos dividiendo por 3: $$ t^{2} - 10t + 24 < 0 $$ Resolvemos la ecuación cuadrática: $$ t^{2} - 10t + 24 = 0 $$ Usamos la fórmula cuadrática: $$ t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{10 \pm 2}{2} $$ Entonces, $$ t_1 = \frac{10 - 2}{2} = 4 \, segundos $$ $$ t_2 = \frac{10 + 2}{2} = 6 \, segundos $$ La desigualdad $$ t^{2} - 10t + 24 < 0 $$ se cumple para $$ t $$ entre las raíces. **Solución:** El proyectil excederá los 72 metros del suelo entre los **4 y 6 segundos** después del lanzamiento. --- **Respuestas Simplificadas:** 1. **Problema 3:** - **a)** Los números reales válidos son $$ y \geq \frac{1}{5} $$ o $$ y = 0 $$. - **b)** Los números reales válidos son $$ -\frac{7}{3} < x \leq 2 $$. - **c)** Los números reales válidos son $$ b \geq \frac{8}{11} $$ y $$ b \neq 16 $$. - **d)** Los números reales válidos son $$ x < -\sqrt{5} $$ o $$ x > \sqrt{5} $$ y $$ x \neq -4 $$. 2. **Problema 4:** - **a)** El intervalo en Fahrenheit es $$ 104 \leq F \leq 140 \, °F $$. - **b)** El intervalo en Celsius es $$ 10 \leq C \leq 35 \, °C $$. 3. **Problema 5:** - El proyectil excederá los 72 metros del suelo entre los **4 y 6 segundos** después del lanzamiento.

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