(114) Determina los puntos de discontinuidad de estas funciones. $$ \begin{array}{ll} ext { a) } f(x)=\sqrt{x^{2}+3 x+2} & ext { c) } f(x)=\sqrt{x^{2}+x-2} \ ext { b) } f(x)=\ln \left(x^{2}+x-6 ight) & ext { d) } f(x)=\log \left(x^{2}+4 x-5 ight)\end{array} $$

Question

(114) Determina los puntos de discontinuidad de estas funciones. $$ \begin{array}{ll}	ext { a) } f(x)=\sqrt{x^{2}+3 x+2} & 	ext { c) } f(x)=\sqrt{x^{2}+x-2} \ 	ext { b) } f(x)=\ln \left(x^{2}+x-6ight) & 	ext { d) } f(x)=\log \left(x^{2}+4 x-5ight)\end{array} $$

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Claro, determinemos los puntos de discontinuidad para cada una de las funciones dadas: ### a) $$ f(x) = \sqrt{x^{2} + 3x + 2} $$ **Dominio:** Para que la raíz cuadrada esté definida, se debe cumplir que: $$ x^{2} + 3x + 2 \geq 0 $$ Factorizando el trinomio: $$ x^{2} + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) $$ Los puntos críticos son $$ x = -2 $$ y $$ x = -1 $$. Analizando los intervalos: - **Para $$ x < -2 $$:** Ambos factores son negativos, por lo que el producto es positivo. - **Para $$ -2 < x < -1 $$:** Un factor es negativo y el otro positivo, el producto es negativo. - **Para $$ x > -1 $$:** Ambos factores son positivos, el producto es positivo. **Dominio:** $$ x \leq -2 $$ o $$ x \geq -1 $$ **Puntos de discontinuidad:** La función está continua en cada intervalo de su dominio, pero presenta discontinuidades en los puntos donde cambia el dominio: - $$ x = -2 $$ - $$ x = -1 $$ ### b) $$ f(x) = \ln(x^{2} + x - 6) $$ **Dominio:** El argumento del logaritmo debe ser positivo: $$ x^{2} + x - 6 > 0 $$ Factorizando: $$ x^{2} + x - 6 = (x + 3)(x - 2) $$ Evaluando las desigualdades: - $$ x < -3 $$ - $$ x > 2 $$ **Dominio:** $$ x < -3 $$ o $$ x > 2 $$ **Puntos de discontinuidad:** En los puntos donde el argumento del logaritmo se hace cero: - $$ x = -3 $$ - $$ x = 2 $$ ### c) $$ f(x) = \sqrt{x^{2} + x - 2} $$ **Dominio:** $$ x^{2} + x - 2 \geq 0 $$ Factorizando: $$ x^{2} + x - 2 = (x + 2)(x - 1) $$ Evaluando las desigualdades: - $$ x \leq -2 $$ - $$ x \geq 1 $$ **Dominio:** $$ x \leq -2 $$ o $$ x \geq 1 $$ **Puntos de discontinuidad:** En los puntos donde cambia el dominio: - $$ x = -2 $$ - $$ x = 1 $$ ### d) $$ f(x) = \log(x^{2} + 4x - 5) $$ **Dominio:** $$ x^{2} + 4x - 5 > 0 $$ Factorizando: $$ x^{2} + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1) $$ Evaluando las desigualdades: - $$ x < -5 $$ - $$ x > 1 $$ **Dominio:** $$ x < -5 $$ o $$ x > 1 $$ **Puntos de discontinuidad:** En los puntos donde el argumento del logaritmo se hace cero: - $$ x = -5 $$ - $$ x = 1 $$ ### **Resumen de Puntos de Discontinuidad:** - **a)** $$ x = -2 $$ y $$ x = -1 $$ - **b)** $$ x = -3 $$ y $$ x = 2 $$ - **c)** $$ x = -2 $$ y $$ x = 1 $$ - **d)** $$ x = -5 $$ y $$ x = 1 $$ Estas discontinuidades corresponden a los puntos donde las funciones no están definidas debido a las restricciones de los radicales y logaritmos. Los puntos de discontinuidad para cada función son: - **a)** $$ x = -2 $$ y $$ x = -1 $$ - **b)** $$ x = -3 $$ y $$ x = 2 $$ - **c)** $$ x = -2 $$ y $$ x = 1 $$ - **d)** $$ x = -5 $$ y $$ x = 1 $$

(114) Determina los puntos de discontinuidad de estas
funciones.

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