EXERCICE 3 Le plan est muni d'un repère orthonormé $$ (\mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J}) $$. L'unité graphique est : 2 cm . On donne la fonction $$ f $$ définie sur $$ ] 0 ;+\infty[ $$ par : $$ f(x)=-x+3+\ln (x) $$. On désigne par : - (C), la courbe représentative de $$ f $$ dans le plan muni du repére orthonormé (O, I, J). * (T), la tangente à (C) au point d'abscisse 2 . Partic A 1. a) Calcule $$ f(1) $$ b) Calcule $$ ((4,50) $$ et $$ f(4,51) $$ et donne les resultats arrondis a l'ordre 3 . 2. a) Justifie que : $$ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=-\infty $$, $$ 0 $$ b) Donne une interprétation graphique du résultat obtenu. 3. On admettra que pour tout nombre réel strictement positif, $$ f(x)=x\left(-1+\frac{3}{x}+\frac{\ln (x)}{x}\right) $$. Calcule: $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) $$. Partie B 1. On admet que $$ f $$ est dérivable sur $$ ] 0 ;+\infty[ $$ - Vérifie que, pour tout nombre réel $$ x $$ strictement positif, $$ f^{\prime}(x)=\frac{-x+1}{x} $$. 2. a) Etudie les variations de $$ f $$. b) Dresse le tableau de variations de $$ f $$. 3. Détermine une bquation de (T). 4. Justifie que l'équation $$ f(x)=0 $$, admet une solution unique dans ]'intervalle ] 4,$$ 50 ; 4,51 $$ [-

Question

EXERCICE 3 Le plan est muni d'un repère orthonormé $$ (\mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J}) $$. L'unité graphique est : 2 cm . On donne la fonction $$ f $$ définie sur $$ ] 0 ;+\infty[ $$ par : $$ f(x)=-x+3+\ln (x) $$. On désigne par : - (C), la courbe représentative de $$ f $$ dans le plan muni du repére orthonormé (O, I, J). * (T), la tangente à (C) au point d'abscisse 2 . Partic A 1. a) Calcule $$ f(1) $$ b) Calcule $$ ((4,50) $$ et $$ f(4,51) $$ et donne les resultats arrondis a l'ordre 3 . 2. a) Justifie que : $$ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=-\infty $$, $$ >0 $$ b) Donne une interprétation graphique du résultat obtenu. 3. On admettra que pour tout nombre réel strictement positif, $$ f(x)=x\left(-1+\frac{3}{x}+\frac{\ln (x)}{x}\right) $$. Calcule: $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) $$. Partie B 1. On admet que $$ f $$ est dérivable sur $$ ] 0 ;+\infty[ $$ - Vérifie que, pour tout nombre réel $$ x $$ strictement positif, $$ f^{\prime}(x)=\frac{-x+1}{x} $$. 2. a) Etudie les variations de $$ f $$. b) Dresse le tableau de variations de $$ f $$. 3. Détermine une bquation de (T). 4. Justifie que l'équation $$ f(x)=0 $$, admet une solution unique dans ]'intervalle ] 4,$$ 50 ; 4,51 $$ [-

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**EXERCICE 3** Le plan est muni d’un repère orthonormé $$ (\mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J}) $$. L’unité graphique est : 2 cm. On considère la fonction $$ f $$ définie sur $$ ]0 ; +\infty[ $$ par : $$ f(x) = -x + 3 + \ln(x) $$ On désigne par : - $$ (C) $$, la courbe représentative de $$ f $$ dans le plan. - $$ (T) $$, la tangente à $$ (C) $$ au point d’abscisse 2. ### **Partie A** #### **1. a) Calcul de $$ f(1) $$** Calculons $$ f(1) $$ : $$ f(1) = -1 + 3 + \ln(1) = -1 + 3 + 0 = 2 $$ **Réponse :** $$ f(1) = 2 $$ #### **1. b) Calcul de $$ f(4,50) $$ et $$ f(4,51) $$ arrondis à l’ordre des milleièmes** Calculons $$ f(4,50) $$ et $$ f(4,51) $$. 1. **Pour $$ x = 4,50 $$** : $$ f(4,50) = -4,50 + 3 + \ln(4,50) $$ Calculons $$ \ln(4,50) $$ : $$ \ln(4,50) \approx 1,504077 $$ Donc : $$ f(4,50) \approx -4,50 + 3 + 1,504077 = 0,004077 \approx 0,004 $$ 2. **Pour $$ x = 4,51 $$** : $$ f(4,51) = -4,51 + 3 + \ln(4,51) $$ Calculons $$ \ln(4,51) $$ : $$ \ln(4,51) \approx 1,509836 $$ Donc : $$ f(4,51) \approx -4,51 + 3 + 1,509836 = -4,51 + 4,509836 = -0,000164 \approx -0,000 $$ **Réponses :** $$ f(4,50) \approx 0,004 $$ $$ f(4,51) \approx -0,000 $$ #### **2. a) Justification que $$ \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = -\infty $$** Calculons la limite de $$ f(x) $$ lorsque $$ x $$ tend vers 0 par valeurs positives. $$ f(x) = -x + 3 + \ln(x) $$ Lorsque $$ x \rightarrow 0^+ $$ : - $$ -x $$ tend vers 0. - $$ 3 $$ reste constant. - $$ \ln(x) $$ tend vers $$ -\infty $$. Ainsi : $$ \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = 0 + 3 + (-\infty) = -\infty $$ **Justification :** Lorsque $$ x $$ approche 0 par valeurs positives, le terme $$ \ln(x) $$ domine et tend vers $$ -\infty $$, ce qui entraîne $$ f(x) $$ vers $$ -\infty $$. #### **2. b) Interprétation graphique du résultat obtenu** **Interprétation graphique :** Le résultat $$ \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = -\infty $$ indique que la courbe $$ (C) $$ de la fonction $$ f $$ tend vers le bas sans limite à mesure que $$ x $$ approche 0 par valeurs positives. Graphiquement, cela signifie que la courbe $$ (C) $$ se dirige verticalement vers le bas près de l’axe des ordonnées (près de $$ x = 0 $$). #### **3. Calcul de $$ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) $$** On nous donne : $$ f(x) = x\left(-1 + \frac{3}{x} + \frac{\ln(x)}{x}\right) $$ Calculons la limite lorsque $$ x $$ tend vers $$ +\infty $$ : $$ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left[ x \left( -1 + \frac{3}{x} + \frac{\ln(x)}{x} \right) \right] $$ Simplifions l’expression : $$ f(x) = -x + 3 + \ln(x) $$ Analysons le comportement des termes : - $$ -x $$ tend vers $$ -\infty $$. - $$ 3 $$ est constant. - $$ \ln(x) $$ tend vers $$ +\infty $$, mais plus lentement que $$ x $$. Ainsi : $$ \lim_{x \rightarrow +\infty} (-x + 3 + \ln(x)) = -\infty $$ **Réponse :** $$ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty $$ ### **Partie B** #### **1. Vérification de la dérivée de $$ f $$** On nous admet que $$ f $$ est dérivable sur $$ ]0 ; +\infty[ $$. Calculons la dérivée de $$ f(x) = -x + 3 + \ln(x) $$ : $$ f'(x) = \frac{d}{dx} (-x) + \frac{d}{dx} (3) + \frac{d}{dx} (\ln(x)) = -1 + 0 + \frac{1}{x} = -1 + \frac{1}{x} = \frac{-x + 1}{x} $$ **Vérification :** $$ f'(x) = \frac{-x + 1}{x} $$ Ceci correspond bien à ce qui est demandé. #### **2. a) Étude des variations de $$ f $$** Étudions le signe de $$ f'(x) $$ pour déterminer les variations de $$ f $$. $$ f'(x) = \frac{-x + 1}{x} = \frac{1 - x}{x} $$ Le signe de $$ f'(x) $$ dépend du signe de $$ 1 - x $$ et de $$ x $$. Comme $$ x > 0 $$ : - Si $$ 1 - x > 0 $$ alors $$ x < 1 $$ : $$ f'(x) > 0 $$. - Si $$ 1 - x < 0 $$ alors $$ x > 1 $$ : $$ f'(x) < 0 $$. - Si $$ x = 1 $$, $$ f'(1) = 0 $$. **Conclusion des variations :** - **Sur $$ ]0 ; 1[ $$** : $$ f' > 0 $$ ⇒ $$ f $$ est croissante. - **En $$ x = 1 $$** : $$ f' = 0 $$ ⇒ Extremum local. - **Sur $$ ]1 ; +\infty[ $$** : $$ f' < 0 $$ ⇒ $$ f $$ est décroissante. #### **2. b) Tableau de variations de $$ f $$** | $$ x $$ | $$ 0 $$ | $$ 1 $$ | $$ +\infty $$ | |------------------|------------------|-----------------|-----------------| | Signe de $$ f'(x) $$ | $$ + $$ | $$ 0 $$ | $$ - $$ | | Variation de $$ f(x) $$ | Croissante | Décroissante | **Tableau de variations :** $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & +\infty \ \hline f'(x) & + & 0 & - \ \hline f(x) & \text{Croissante} & \text{Maximum} & \text{Décroissante} \ \hline \end{array} $$ **Interprétation :** - La fonction $$ f $$ est croissante sur $$ ]0 ; 1[ $$, atteint un maximum en $$ x = 1 $$, puis est décroissante sur $$ ]1 ; +\infty[ $$. #### **3. Détermination d'une équation de $$ (T) $$, la tangente en $$ x = 2 $$** Pour déterminer l’équation de la tangente $$ (T) $$ à la courbe $$ (C) $$ au point d’abscisse $$ 2 $$, nous avons besoin : - Du point $$ (2, f(2)) $$. - De la pente $$ f'(2) $$. 1. **Calcul de $$ f(2) $$** : $$ f(2) = -2 + 3 + \ln(2) = 1 + \ln(2) \approx 1 + 0,693147 = 1,693147 $$ 2. **Calcul de $$ f'(2) $$** : $$ f'(2) = \frac{-2 + 1}{2} = \frac{-1}{2} = -0,5 $$ 3. **Équation de la tangente $$ (T) $$** : L’équation d’une tangente au point $$ (a, f(a)) $$ est : $$ y = f(a) + f'(a)(x - a) $$ Ici, $$ a = 2 $$, donc : $$ y = 1,693147 + (-0,5)(x - 2) $$ Simplifions : $$ y = 1,693147 - 0,5x + 1 = 2,693147 - 0,5x $$ Arrondi à trois décimales : $$ y \approx 2,693 - 0,500x $$ **Équation de $$ (T) $$ :** $$ y = -0,5x + 2,693 $$ #### **4. Justification de l’unicité de la solution de $$ f(x) = 0 $$ dans l’intervalle $$ ]4,50 ; 4,51[ $$** Nous devons montrer que l'équation $$ f(x) = 0 $$ admet une solution unique dans l'intervalle $$ ]4,50 ; 4,51[ $$. 1. **Analyse des valeurs de $$ f $$ :** Nous avons calculé précédemment : $$ f(4,50) \approx 0,004 $$ $$ f(4,51) \approx -0,000 $$ Ainsi : $$ f(4,50) > 0 \quad \text{et} \quad f(4,51) < 0 $$ 2. **Application du théorème de la valeur intermédiaire :** La fonction $$ f $$ est continue sur $$ ]0 ; +\infty[ $$, notamment sur $$ ]4,50 ; 4,51[ $$. Comme $$ f(4,50) > 0 $$ et $$ f(4,51) < 0 $$, il existe au moins une solution $$ c $$ dans $$ ]4,50 ; 4,51[ $$ telle que $$ f(c) = 0 $$. 3. **Monotonie de $$ f $$ sur $$ ]1 ; +\infty[ $$ :** La dérivée $$ f'(x) = \frac{1 - x}{x} $$. Pour $$ x > 1 $$, $$ f'(x) < 0 $$, donc $$ f $$ est strictement décroissante sur $$ ]1 ; +\infty[ $$. 4. **Conclusion sur l'unicité :** Une fonction strictement décroissante admet au plus une solution à l’équation $$ f(x) = 0 $$ dans tout intervalle où elle est définie. Puisque nous avons déjà montré qu’il existe une solution dans $$ ]4,50 ; 4,51[ $$, celle-ci est unique. **Justification :** La fonction $$ f $$ est continue et strictement décroissante sur $$ ]4,50 ; 4,51[ $$, avec $$ f(4,50) > 0 $$ et $$ f(4,51) < 0 $$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $$ c $$ dans cet intervalle telle que $$ f(c) = 0 $$. **EXERCICE 3** 1. **Calculs :** - $$ f(1) = 2 $$ - $$ f(4,50) \approx 0,004 $$ - $$ f(4,51) \approx -0,000 $$ 2. **Limites :**

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