(1) $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{a}\left[\frac{b}{x}\right] $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

נתון:

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{a}\left[\frac{b}{x}\right]
$$

כאשר $$[\cdot]$$ מייצג את פונקציית הרצפה ($$\lfloor \cdot \rfloor$$).

חישוב הגבול:

כאשר $$x$$ מתקרב ל-0 מצד המעלה, $$\frac{b}{x}$$ שואף לאינסוף חיובי, ולכן $$\left[\frac{b}{x}\right] \approx \frac{b}{x}$$.

אז הביטוי הופך ל:

$$
\frac{x}{a} \cdot \frac{b}{x} = \frac{b}{a}
$$

בנוסף, השארית מהפונקציה $$\left[\frac{b}{x}\right]$$ היא חסרת השפעה בגבול כי היא קטנה מ-1 והופכת לאפס כאשר $$x$$ שואף ל-0.

מכאן שמתקבל:

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{a}\left[\frac{b}{x}\right] = \frac{b}{a}
$$

**תשובה:** הגבול שווה ל-$$\frac{b}{a}$$.
$$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{a}\left[\frac{b}{x}\right] = \frac{b}{a} $$

(1)