$$ \left.3^{\circ}\right) $$ Sabe-se que a temperatura $$ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t}) $$ em qualquer instante em uma barra de metal com 70 cm de comprimento, insulada nos lados, inicialmente a uma temperatura uniforme de $$ 40^{\circ} \mathrm{C} $$ em toda a barra e cujas extremidades são mantidas a $$ 0^{\circ} \mathrm{C} $$ para todo $$ t $$ 0, é dada pela seguinte equação: $$ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t})=\frac{160}{\pi} \cdot \sum_{n=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot e^{-n^{2} \cdot \pi^{2} . . t / 4900} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{70}\right) $$ Utilize um termo na expansão da série acima e determine o instante de tempo $$ t $$ no qual a temperatura na barra inteira não é maior que $$ 4^{\circ} \mathrm{C} $$.

Question

$$ \left.3^{\circ}\right) $$ Sabe-se que a temperatura $$ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t}) $$ em qualquer instante em uma barra de metal com 70 cm de comprimento, insulada nos lados, inicialmente a uma temperatura uniforme de $$ 40^{\circ} \mathrm{C} $$ em toda a barra e cujas extremidades são mantidas a $$ 0^{\circ} \mathrm{C} $$ para todo $$ t> $$ 0, é dada pela seguinte equação: $$ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t})=\frac{160}{\pi} \cdot \sum_{n=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot e^{-n^{2} \cdot \pi^{2} . . t / 4900} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{70}\right) $$ Utilize um termo na expansão da série acima e determine o instante de tempo $$ t $$ no qual a temperatura na barra inteira não é maior que $$ 4^{\circ} \mathrm{C} $$.

UpStudy AI · Accepted Answer

Para determinar o instante de tempo $$ t $$ no qual a temperatura na barra inteira não é maior que $$ 4^{\circ} \mathrm{C} $$, utilizaremos apenas o primeiro termo da expansão da série fornecida.

A aproximação com o primeiro termo ($$ n = 1 $$) da série é:

$$
u(x, t) \approx \frac{160}{\pi} \cdot e^{-\frac{\pi^{2} t}{4900}} \cdot \sin\left(\frac{\pi x}{70}\right)
$$

Para garantir que a temperatura máxima na barra não exceda $$ 4^{\circ} \mathrm{C} $$, consideramos o valor máximo de $$ \sin\left(\frac{\pi x}{70}\right) $$, que é 1:

$$
\frac{160}{\pi} \cdot e^{-\frac{\pi^{2} t}{4900}} \leq 4
$$

Resolvendo a inequação para $$ t $$:

$$
e^{-\frac{\pi^{2} t}{4900}} \leq \frac{4 \pi}{160} = \frac{\pi}{40}
$$

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:

$$
-\frac{\pi^{2} t}{4900} \leq \ln\left(\frac{\pi}{40}\right)
$$

Multiplicando ambos os lados por $$ -\frac{4900}{\pi^{2}} $$ (e invertendo a desigualdade):

$$
t \geq \frac{4900}{\pi^{2}} \cdot \left(-\ln\left(\frac{\pi}{40}\right)\right)
$$

Calculando numericamente:

$$
\ln\left(\frac{\pi}{40}\right) \approx \ln(0.07854) \approx -2.544
$$

Então:

$$
t \geq \frac{4900}{9.8696} \cdot 2.544 \approx 1265 \text{ segundos}
$$

Convertendo para minutos:

$$
1265 \text{ segundos} \approx 21 \text{ minutos e } 5 \text{ segundos}
$$

**Resposta Final:**

Após aproximadamente 1265 segundos (cerca de 21 minutos e 5 segundos), a temperatura em toda a barra não excederá 4 °C.
Após cerca de 21 minutos e 5 segundos, a temperatura na barra inteira não será maior que $$ 4^{\circ} \mathrm{C} $$.

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