\( \left.3^{\circ}\right) \) Sabe-se que a temperatura \( \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t}) \) em qualquer instante em uma barra de metal com 70 cm de comprimento, insulada nos lados, inicialmente a uma temperatura uniforme de \( 40^{\circ} \mathrm{C} \) em toda a barra e cujas extremidades são mantidas a \( 0^{\circ} \mathrm{C} \) para todo \( t> \) 0, é dada pela seguinte equação: \[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t})=\frac{160}{\pi} \cdot \sum_{n=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot e^{-n^{2} \cdot \pi^{2} . . t / 4900} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{70}\right) \] Utilize um termo na expansão da série acima e determine o instante de tempo \( t \) no qual a temperatura na barra inteira não é maior que \( 4^{\circ} \mathrm{C} \).

Para determinar o instante de tempo \( t \) em que a temperatura na barra não é maior que \( 4^{\circ} \mathrm{C} \) utilizando um termo da série, podemos focar no primeiro termo da soma, onde \( n=1 \). A equação utilizando \( n=1 \) fica assim: \[ u(x, t) = \frac{160}{\pi} \cdot \frac{1}{1} \cdot e^{-\frac{\pi^2 t}{4900}} \cdot \sin\left(\frac{\pi x}{70}\right). \] A temperatura máxima na barra acontece na posição \( x = 35 \, \text{cm} \) (meio da barra). Portanto, calculamos: \[ u(35, t) = \frac{160}{\pi} \cdot e^{-\frac{\pi^2 t}{4900}} \cdot \sin\left(\frac{\pi \cdot 35}{70}\right) = \frac{160}{\pi} \cdot e^{-\frac{\pi^2 t}{4900}} \cdot 1. \] Assim, queremos resolver a inequação: \[ \frac{160}{\pi} \cdot e^{-\frac{\pi^2 t}{4900}} \leq 4. \] Multiplicando ambos os lados por \( \pi \) e dividindo por 160: \[ e^{-\frac{\pi^2 t}{4900}} \leq \frac{4\pi}{160} = \frac{\pi}{40}. \] Agora, aplicamos o logaritmo natural: \[ -\frac{\pi^2 t}{4900} \leq \ln\left(\frac{\pi}{40}\right). \] Invertendo os sinais e isolando \( t \): \[ t \geq -\frac{4900}{\pi^2} \ln\left(\frac{\pi}{40}\right). \] Calculando isso, teremos o tempo \( t \) desejado em que a temperatura na barra não ultrapassará os \( 4^{\circ} \mathrm{C} \).