Fuctorise \( x-6 x^{\frac{1}{2}} y+8 y^{2} \)

Pour factoriser l'expression \( x - 6 x^{\frac{1}{2}} y + 8 y^{2} \), suivons ces étapes : 1. **Substitution :** Posons \( z = \sqrt{x} \) (c'est-à-dire \( z = x^{\frac{1}{2}} \)). Ainsi, \( x = z^2 \). 2. **Réécriture de l'expression :** En remplaçant \( x \) par \( z^2 \), l'expression devient : \[ z^2 - 6 z y + 8 y^2 \] 3. **Factorisation du trinôme :** Nous cherchons deux nombres qui multiplient pour donner \( 8 y^2 \) et qui ajoutent pour donner \( -6 y \). Ces nombres sont \( -2 y \) et \( -4 y \). Donc : \[ z^2 - 6 z y + 8 y^2 = (z - 2 y)(z - 4 y) \] 4. **Retour à la variable initiale :** Remplaçons \( z \) par \( \sqrt{x} \) : \[ ( \sqrt{x} - 2 y )( \sqrt{x} - 4 y ) \] **Résultat final :** \[ x - 6 x^{\frac{1}{2}} y + 8 y^{2} = ( \sqrt{x} - 2 y )( \sqrt{x} - 4 y ) \] --- **Vérification :** Pour s'assurer que la factorisation est correcte, développons le produit : \[ ( \sqrt{x} - 2 y )( \sqrt{x} - 4 y ) = (\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}) - (2 y \cdot \sqrt{x}) - (4 y \cdot \sqrt{x}) + (2 y \cdot 4 y) = x - 6 \sqrt{x} y + 8 y^2 \] Cela correspond bien à l'expression initiale.