Berechne in einem recht winkligen Dreieck mit $$ a=5 \mathrm{~cm} $$ und $$ \alpha=75^{\circ} $$ die Seitenlänge von $$ b $$. Runde auf zwei Nach- kommastellen.

Question

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Um die Seitenlänge $$ b $$ in einem rechtwinkligen Dreieck mit $$ a = 5 \,\text{cm} $$ und $$ \alpha = 75^\circ $$ zu berechnen, folgen wir diesen Schritten:

1. **Verständnis der Geometrie:**
   - Angenommen, $$ \alpha = 75^\circ $$ ist einer der beiden spitzen Winkel des rechtwinkligen Dreiecks.
   - Seite $$ a $$ ist gegenüber dem Winkel $$ \alpha $$, also $$ a = 5 \,\text{cm} $$.
   - Seite $$ b $$ ist die anliegende Seite an den Winkel $$ \alpha $$.

2. **Verwendung der Tangens-Funktion:**
   
   Der Tangens eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur anliegenden Seite:
   $$
   \tan(\alpha) = \frac{a}{b}
   $$
   
   Um $$ b $$ zu berechnen, stellen wir die Gleichung nach $$ b $$ um:
   $$
   b = \frac{a}{\tan(\alpha)}
   $$

3. **Einsetzen der Werte:**
   $$
   b = \frac{5\,\text{cm}}{\tan(75^\circ)}
   $$
   
   Berechnung von $$ \tan(75^\circ) $$:
   $$
   \tan(75^\circ) \approx 3{,}73205
   $$
   
   Daher:
   $$
   b = \frac{5\,\text{cm}}{3{,}73205} \approx 1{,}3416\,\text{cm}
   $$

4. **Runden auf zwei Nachkommastellen:**
   $$
   b \approx 1{,}34\,\text{cm}
   $$

**Ergebnis:** Die Seitenlänge $$ b $$ beträgt gerundet $$ 1{,}34\,\text{cm} $$.
Die Seitenlänge $$ b $$ beträgt $$ 1{,}34\,\text{cm} $$.

Berechne in einem recht winkligen Dreieck mit \( a=5 \mathrm{~cm} \) und \( \alpha=75^{\circ} \) die Seitenlänge von \( b \). Runde auf zwei Nach- kommastellen.

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