Aufgabe: (2 Punkte) Bestimme den Abstand des Punktes \( \mathrm{P}(4|-14|-8) \) von der Ebene E: \( 4 x_{1}+8 x_{2}+8 x_{3}=-16 \). Gib einen weiteren Punkt Q an, der den gleichen Abstand zu E hat.

Um den Abstand des Punktes \( \mathrm{P}(4, -14, -8) \) von der Ebene \( E: 4x_1 + 8x_2 + 8x_3 = -16 \) zu bestimmen, verwenden wir die Formel für den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene: \[ \text{Abstand} = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Hier sind \( a = 4 \), \( b = 8 \), \( c = 8 \) und \( d = 16 \) (da wir die Gleichung in die Form \( ax + by + cz + d = 0 \) umformen). Setzen wir die Koordinaten von \( \mathrm{P} \) in die Formel ein: 1. \( x_1 = 4 \) 2. \( y_1 = -14 \) 3. \( z_1 = -8 \) Jetzt berechnen wir: \[ \text{Zähler} = |4(4) + 8(-14) + 8(-8) + 16| \] \[ = |16 - 112 - 64 + 16| = |-144| = 144 \] Der Nenner ist: \[ \sqrt{4^2 + 8^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64 + 64} = \sqrt{144} = 12 \] Also ist der Abstand: \[ \text{Abstand} = \frac{144}{12} = 12 \] Ein weiterer Punkt \( Q \) mit dem gleichen Abstand könnte durch die Verschiebung des Punktes \( P \) in Normalenrichtung zur Ebene gefunden werden. Die Normalenrichtung wird durch den Normalenvektor der Ebene gegeben, also \( (4, 8, 8) \). Um den Punkt zu finden, addieren wir 12 (den Abstand) in der Richtung des Normalenvektors (wir normieren den Normalenvektor zuerst): \[ \text{Normierter Vektor} = \left( \frac{4}{12}, \frac{8}{12}, \frac{8}{12} \right) = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right) \] Dann verschieben wir: \[ Q = P + 12 \cdot \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right) = (4 + 4, -14 + 8, -8 + 8) = (8, -6, 0) \] Damit beträgt der Abstand von \( Q(8, -6, 0) \) ebenfalls 12.