\( \begin{array}{ll}x^{4}-5 x^{2}+4=0 & \text { b) } x^{4}-13 x^{2}+36= \\ x^{4}-29 x^{2}+100=0 & \text { d) } x^{4}-8 x^{2}-9=0 \\ x^{4}+5 x^{2}+4=0 & \text { f) } x^{4}+4 x^{2}+3=0\end{array} \)

Claro, resolveremos cada una de las ecuaciones cuarticas dadas paso a paso. Utilizaremos la sustitución \( y = x^2 \) para simplificar las ecuaciones a cuadráticas y luego resolveremos para \( y \) y posteriormente para \( x \). ### a) \( x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0 \) **Paso 1: Sustitución** Sea \( y = x^{2} \). Entonces, la ecuación se convierte en: \[ y^{2} - 5y + 4 = 0 \] **Paso 2: Resolver la ecuación cuadrática** \[ y^{2} - 5y + 4 = 0 \] Usando la fórmula cuadrática: \[ y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Entonces: \[ y_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \] \[ y_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \] **Paso 3: Resolver para \( x \)** Para \( y = 4 \): \[ x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \] Para \( y = 1 \): \[ x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \] **Soluciones:** \[ x = -2, -1, 1, 2 \] --- ### b) \( x^{4} - 13x^{2} + 36 = 0 \) **Paso 1: Sustitución** Sea \( y = x^{2} \). Entonces: \[ y^{2} - 13y + 36 = 0 \] **Paso 2: Resolver la ecuación cuadrática** \[ y = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2} = \frac{13 \pm 5}{2} \] Entonces: \[ y_1 = \frac{13 + 5}{2} = 9 \] \[ y_2 = \frac{13 - 5}{2} = 4 \] **Paso 3: Resolver para \( x \)** Para \( y = 9 \): \[ x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \] Para \( y = 4 \): \[ x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \] **Soluciones:** \[ x = -3, -2, 2, 3 \] --- ### c) \( x^{4} - 29x^{2} + 100 = 0 \) **Paso 1: Sustitución** Sea \( y = x^{2} \). Entonces: \[ y^{2} - 29y + 100 = 0 \] **Paso 2: Resolver la ecuación cuadrática** \[ y = \frac{29 \pm \sqrt{841 - 400}}{2} = \frac{29 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{29 \pm 21}{2} \] Entonces: \[ y_1 = \frac{29 + 21}{2} = 25 \] \[ y_2 = \frac{29 - 21}{2} = 4 \] **Paso 3: Resolver para \( x \)** Para \( y = 25 \): \[ x^{2} = 25 \Rightarrow x = \pm 5 \] Para \( y = 4 \): \[ x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \] **Soluciones:** \[ x = -5, -2, 2, 5 \] --- ### d) \( x^{4} - 8x^{2} - 9 = 0 \) **Paso 1: Sustitución** Sea \( y = x^{2} \). Entonces: \[ y^{2} - 8y - 9 = 0 \] **Paso 2: Resolver la ecuación cuadrática** \[ y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2} \] Entonces: \[ y_1 = \frac{8 + 10}{2} = 9 \] \[ y_2 = \frac{8 - 10}{2} = -1 \] **Paso 3: Resolver para \( x \)** Para \( y = 9 \): \[ x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \] Para \( y = -1 \): \[ x^{2} = -1 \Rightarrow x = \pm i \] **Soluciones:** - **Reales:** \( x = -3, 3 \) - **Complejas:** \( x = -i, i \) --- ### e) \( x^{4} + 5x^{2} + 4 = 0 \) **Paso 1: Sustitución** Sea \( y = x^{2} \). Entonces: \[ y^{2} + 5y + 4 = 0 \] **Paso 2: Resolver la ecuación cuadrática** \[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2} \] Entonces: \[ y_1 = \frac{-5 + 3}{2} = -1 \] \[ y_2 = \frac{-5 - 3}{2} = -4 \] **Paso 3: Resolver para \( x \)** Para \( y = -1 \): \[ x^{2} = -1 \Rightarrow x = \pm i \] Para \( y = -4 \): \[ x^{2} = -4 \Rightarrow x = \pm 2i \] **Soluciones:** \[ x = -2i, -i, i, 2i \] --- ### f) \( x^{4} + 4x^{2} + 3 = 0 \) **Paso 1: Sustitución** Sea \( y = x^{2} \). Entonces: \[ y^{2} + 4y + 3 = 0 \] **Paso 2: Resolver la ecuación cuadrática** \[ y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2} \] Entonces: \[ y_1 = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \] \[ y_2 = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \] **Paso 3: Resolver para \( x \)** Para \( y = -1 \): \[ x^{2} = -1 \Rightarrow x = \pm i \] Para \( y = -3 \): \[ x^{2} = -3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}i \] **Soluciones:** \[ x = -\sqrt{3}i, -i, i, \sqrt{3}i \] --- **Resumen de Soluciones:** - **a)** \( x = -2, -1, 1, 2 \) - **b)** \( x = -3, -2, 2, 3 \) - **c)** \( x = -5, -2, 2, 5 \) - **d)** - Reales: \( x = -3, 3 \) - Complejas: \( x = -i, i \) - **e)** \( x = -2i, -i, i, 2i \) - **f)** \( x = -\sqrt{3}i, -i, i, \sqrt{3}i \)