1. (20 points) Determine a equação da reta que passa pelos pontos \( (-1,0) \) e \( (0,1) \). Esboce o gráfico da reta. 2. (20 points) Com relação à função \( f(x)=x^{2}+x-2 \), determine as raízes(caso existam), o vértice da parábla e esboce o gráfico. 3. (10 points) Calcule o limite \( \lim _{x \rightarrow-1} x^{3}-x^{2}-2 \). \( \begin{array}{lll}\text { a. (20 points) Calcule os limites laterais: } \\ \begin{array}{lll}\text { a. } \lim _{x \rightarrow 2+} \frac{1}{x-2} & \text { b. } \lim _{x \rightarrow 1-} \frac{x}{x-1} & \text { b. } \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-x^{2}+x-3}{x-1} \\ \begin{array}{ll}\text { a. } \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-3}{x^{2}-1} & \end{array}\end{array}\end{array} l \)

Claro! Vamos resolver cada um dos problemas passo a passo. --- ### **1. Determinação da Equação da Reta que Passa pelos Pontos \((-1, 0)\) e \((0, 1)\)** **Passo 1: Calcular o coeficiente angular (m).** A fórmula para o coeficiente angular entre dois pontos \((x_1, y_1)\) e \((x_2, y_2)\) é: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] Aplicando os valores: \[ m = \frac{1 - 0}{0 - (-1)} = \frac{1}{1} = 1 \] **Passo 2: Determinar a equação da reta usando a forma \(y = mx + b\).** Sabemos que a reta passa pelo ponto \((0, 1)\), que é o intercepto com o eixo \(y\). Portanto, \(b = 1\). Assim, a equação da reta é: \[ y = x + 1 \] **Esboço do Gráfico da Reta:** A reta \(y = x + 1\) intercepta o eixo \(y\) no ponto \((0, 1)\) e possui um coeficiente angular de 1, indicando que para cada incremento de 1 em \(x\), \(y\) também incrementa 1.  --- ### **2. Análise da Função \(f(x) = x^{2} + x - 2\)** **a) Determinação das Raízes da Equação \(f(x) = 0\).** Resolvemos a equação quadrática: \[ x^{2} + x - 2 = 0 \] Usando a fórmula de Bhaskara: \[ \Delta = b^{2} - 4ac = (1)^{2} - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Portanto: \[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \] **Raízes:** \(x = 1\) e \(x = -2\). **b) Determinação do Vértice da Parábola.** A coordenada \(x\) do vértice é dada por: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2(1)} = -0,5 \] Substituindo em \(f(x)\) para encontrar \(y_v\): \[ y_v = (-0,5)^2 + (-0,5) - 2 = 0,25 - 0,5 - 2 = -2,25 \] **Vértice:** \((-0,5,\ -2,25)\). **Esboço do Gráfico da Parábola:** A parábola abre para cima (já que o coeficiente de \(x^{2}\) é positivo), intercepta os eixos nos pontos \((-2, 0)\) e \((1, 0)\), e tem vértice em \((-0,5,\ -2,25)\).  --- ### **3. Cálculo do Limite \(\lim_{x \rightarrow -1} x^{3} - x^{2} - 2\)** Para calcular o limite de um polinômio em um ponto, substituímos diretamente o valor de \(x\): \[ \lim_{x \rightarrow -1} x^{3} - x^{2} - 2 = (-1)^{3} - (-1)^{2} - 2 = -1 - 1 - 2 = -4 \] **Resultado:** \(-4\) --- ### **4. Cálculo dos Limites Laterais e ao Infinito** **a. \(\lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{1}{x - 2}\)** À medida que \(x\) se aproxima de 2 pela direita (\(2^{+}\)), \(x - 2\) se aproxima de \(0\) por valores positivos. Portanto: \[ \lim_{x \rightarrow 2^{+}} \frac{1}{x - 2} = +\infty \] **b. \(\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x}{x - 1}\)** À medida que \(x\) se aproxima de 1 pela esquerda (\(1^{-}\)), \(x - 1\) se aproxima de \(0\) por valores negativos. Portanto: \[ \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x}{x - 1} = -\infty \] **c. \(\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-x^{2} + x - 3}{x - 1}\)** Analisando os termos de maior grau no numerador e denominador: \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-x^{2} + x - 3}{x - 1} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-x^{2}}{x} = \lim_{x \rightarrow +\infty} -x = -\infty \] **d. \(\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x - 3}{x^{2} - 1}\)** Dividindo numerador e denominador por \(x^{2}\): \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{x}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{1 - 0} = 0 \] **Resumo dos Resultados:** - **a.** \(+\infty\) - **b.** \(-\infty\) - **c.** \(-\infty\) - **d.** \(0\) --- Espero que isso ajude a esclarecer os problemas apresentados!