Resuelva $$ s^{\prime \prime}(t)=-32, s^{\prime}(0)=v_{0}, s(0)=S_{0} $$

Question

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Para resolver la ecuación diferencial $$ s''(t) = -32 $$ con las condiciones iniciales $$ s'(0) = v_{0} $$ y $$ s(0) = S_{0} $$, seguimos los siguientes pasos:

1. **Primera Integración:**
   
   Integramos la aceleración para obtener la velocidad:
   $$
   s'(t) = \int s''(t) \, dt = \int (-32) \, dt = -32t + C
   $$
   
   Aplicando la condición inicial $$ s'(0) = v_{0} $$:
   $$
   v_{0} = -32(0) + C \Rightarrow C = v_{0}
   $$
   
   Por lo tanto, la expresión para la velocidad es:
   $$
   s'(t) = -32t + v_{0}
   $$

2. **Segunda Integración:**
   
   Integramos la velocidad para obtener la posición:
   $$
   s(t) = \int s'(t) \, dt = \int (-32t + v_{0}) \, dt = -16t^{2} + v_{0}t + D
   $$
   
   Aplicando la condición inicial $$ s(0) = S_{0} $$:
   $$
   S_{0} = -16(0)^{2} + v_{0}(0) + D \Rightarrow D = S_{0}
   $$
   
   Por lo tanto, la solución general para la posición es:
   $$
   s(t) = -16t^{2} + v_{0}t + S_{0}
   $$

**Respuesta Final:**
$$
s(t) = -16\, t^{2} + v_{0}\, t + S_{0}
$$
La solución es $$ s(t) = -16t^{2} + v_{0}t + S_{0} $$.

Resuelva \( s^{\prime \prime}(t)=-32, s^{\prime}(0)=v_{0}, s(0)=S_{0} \)

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