Pregunta
upstudy study bank question image url

Evaluate the integral. \( \int \frac{d x}{\sqrt{441+x^{2}}} \)

Ask by Flynn Fowler. in the United States
Jan 23,2025

Solución de tutoría real

Respuesta verificada por el tutor

Responder

The integral evaluates to \( \ln(x + \sqrt{x^2 + 441}) + C \).

Solución

¡Inicia sesión para desbloquear respuestas gratis!

Una plataforma de aprendizaje en la que confían millones de estudiantes y profesores reales.

star-icon Descubrir

Revisado y aprobado por el equipo de tutoría de UpStudy

Bonus Knowledge

To evaluate the integral \( \int \frac{d x}{\sqrt{441+x^{2}}} \), we can use a trigonometric substitution. Notice that we can rewrite the expression under the square root as \( \sqrt{21^2 + x^2} \), indicating that we can let \( x = 21 \tan(\theta) \). First, we find the derivative and substitute: - \( dx = 21 \sec^2(\theta) d\theta \) - Then, we substitute into the integral: \[ \int \frac{21 \sec^2(\theta) d\theta}{\sqrt{441 + (21 \tan(\theta))^2}} = \int \frac{21 \sec^2(\theta) d\theta}{\sqrt{441 + 441 \tan^2(\theta)}} = \int \frac{21 \sec^2(\theta) d\theta}{\sqrt{441(1 + \tan^2(\theta))}} = \int \frac{21 \sec^2(\theta) d\theta}{21 \sec(\theta)} \] This simplifies to: \[ \int \sec(\theta) d\theta \] The integral of secant is a standard result: \[ \int \sec(\theta) d\theta = \ln | \sec(\theta) + \tan(\theta) | + C \] Returning to our substitution, we have \( \tan(\theta) = \frac{x}{21} \), and therefore \( \sec(\theta) = \sqrt{1 + \tan^2(\theta)} = \sqrt{1 + \left(\frac{x}{21}\right)^2} = \frac{\sqrt{441 + x^2}}{21} \). Thus: \[ \sec(\theta) + \tan(\theta) = \frac{\sqrt{441 + x^2}}{21} + \frac{x}{21} = \frac{\sqrt{441 + x^2} + x}{21} \] Putting all the pieces together, we have: \[ \int \frac{d x}{\sqrt{441+x^{2}}} = \ln \left| \frac{\sqrt{441 + x^2} + x}{21} \right| + C \] Finally, we can express the answer in a simpler form: \[ \int \frac{d x}{\sqrt{441+x^{2}}} = \ln \left( \sqrt{441 + x^2} + x \right) + C \] This is the evaluated integral.

¡Prueba Premium ahora!
¡Prueba Premium y hazle a Thoth AI preguntas de matemáticas ilimitadas ahora!
Quizas mas tarde Hazte Premium
Estudiar puede ser una verdadera lucha
¿Por qué no estudiarlo en UpStudy?
Seleccione su plan a continuación
Prima

Puedes disfrutar

Empieza ahora
  • Explicaciones paso a paso
  • Tutores expertos en vivo 24/7
  • Número ilimitado de preguntas
  • Sin interrupciones
  • Acceso completo a Respuesta y Solución
  • Acceso completo al chat de PDF, al chat de UpStudy y al chat de navegación
Básico

Totalmente gratis pero limitado

  • Solución limitada
Bienvenido a ¡Estudia ahora!
Inicie sesión para continuar con el recorrido de Thoth AI Chat
Continuar con correo electrónico
O continuar con
Al hacer clic en "Iniciar sesión", acepta nuestros términos y condiciones. Términos de Uso & Política de privacidad