30. Sea el sistema con \( n \in Z \) \( 2 x-(n-8) y=3 n-4 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \) (1) \( x+(n-8) y=10 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \) (2) Hallar \( n \) si \( x>8 ; y \geq 2 n-16 \)

Para resolver el sistema de ecuaciones, empezamos de la ecuación (2): \[ x + (n - 8)y = 10 \quad (2) \] Despejamos \( x \): \[ x = 10 - (n - 8)y \] Ahora sustituimos \( x \) en la ecuación (1): \[ 2(10 - (n - 8)y) - (n - 8)y = 3n - 4 \quad (1) \] Desarrollamos la ecuación: \[ 20 - 2(n - 8)y - (n - 8)y = 3n - 4 \] Sumamos los términos semejantes: \[ 20 - 2(n - 8)y - (n - 8)y = 20 - 3(n - 8)y = 3n - 4 \] Aislamos \( y \): \[ 20 - 3n + 4 = 3(n - 8)y \] \[ 24 - 3n = 3(n - 8)y \] Dividimos ambos lados entre 3: \[ 8 - n = (n - 8)y \] Despejamos \( y \): \[ y = \frac{8 - n}{n - 8} \] Ahora, con las condiciones dadas \( x > 8 \) y \( y \geq 2n - 16 \), podemos evaluar: 1. Para \( x > 8 \): \[ 10 - (n - 8)y > 8 \] Esto se puede simplificar a: \[ 2 > (n - 8)y \] 2. Para \( y \geq 2n - 16 \): \[ \frac{8 - n}{n - 8} \geq 2n - 16 \] Ambas desigualdades tienen que cumplirse simultáneamente para un valor de \( n \). Resolvamos esta última: Multiplicamos cruzado: \[ 8 - n \geq (2n - 16)(n - 8) \] **Ahora resolvemos esto para encontrar \( n \):** \[ 8 - n \geq 2n^2 - 16n - 16n + 128 \] Reordenando: \[ 0 \geq 2n^2 - 15n + 120 \] Aplicamos la fórmula cuadrática para resolver \( 2n^2 - 15n + 120 = 0 \), que podría simplificarse más: \[ n = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4(2)(120)}}{2(2)} = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 960}}{4} = \frac{15 \pm \sqrt{-735}}{4} \] Dado que el discriminante es negativo, esto indica que no hay solución real. En conclusión, resolviendo las desigualdades y verificando las condiciones, y bajo las restricciones establecidas, podemos concluir que no hay valores enteros para \( n \) que cumplen estas condiciones dadas en el sistema presentado.