(1) Resuelve las siguientes ecuaciones a) \( (4+x)^{2}-(2 x+5)(3 x+4)=x^{2}-1+(2 x+5)(1-x) \)

Para resolver la ecuación \( (4+x)^{2}-(2 x+5)(3 x+4)=x^{2}-1+(2 x+5)(1-x) \), primero simplificamos ambos lados. Expandimos el lado izquierdo: - \( (4+x)^{2} = 16 + 8x + x^{2} \) - \( (2x+5)(3x+4) = 6x^{2} + 8x + 15 \) Lo que resulta en: \[ 16 + 8x + x^{2} - (6x^{2} + 8x + 15) = 16 + 8x + x^{2} - 6x^{2} - 8x - 15 = -5x^{2} + 1 \] Ahora, expandemos el lado derecho: - \( (2x+5)(1-x) = 2x - 2x^{2} + 5 - 5x = -2x^{2} - 3x + 5 \) Entonces la ecuación se convierte en: \[ -5x^{2} + 1 = x^{2} - 1 + (-2x^{2} - 3x + 5) \] \[ -5x^{2} + 1 = -2x^{2} - 3x + 4 \] Al llevar todos los términos al mismo lado, obtenemos: \[ -5x^{2} + 2x^{2} + 3x + 1 - 4 = 0 \] \[ -3x^{2} + 3x - 3 = 0 \] Dividiendo por -3: \[ x^{2} - x + 1 = 0 \] Ahora, encontramos la solución de esta ecuación cuadrática usando la fórmula general: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^{2} - 4(1)(1)}}{2(1)} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} \] Esto nos da soluciones complejas: \[ x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} \] Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son \( \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \) y \( \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} \).