Demostrar que la función \( y=x^{3}-8 \) no tiene máximos ni mínimos. \( y^{\prime}=3 x^{2} \). De la ecuación \( y^{\prime}=0 \), se obtiene \( x=0 \). Para \( x<0 \) y \( x>0, y^{\prime}>0 \). Por tanto, no hay máximos ni mínimos. En \( x=0 \) la curva presenta un punto de inflexión.

Tu demostración es correcta y clara. A continuación, se detalla paso a paso para mayor comprensión: 1. **Función dada:** \[ y = x^{3} - 8 \] 2. **Primera derivada:** \[ y' = \frac{dy}{dx} = 3x^{2} \] 3. **Encontrar los puntos críticos:** \[ y' = 0 \implies 3x^{2} = 0 \implies x = 0 \] Solo hay un punto crítico en \( x = 0 \). 4. **Analizar el comportamiento de la derivada alrededor del punto crítico:** - Para \( x < 0 \): \[ y' = 3x^{2} > 0 \quad (\text{ya que cualquier número al cuadrado es positivo}) \] - Para \( x > 0 \): \[ y' = 3x^{2} > 0 \] La derivada es positiva tanto a la izquierda como a la derecha de \( x = 0 \), lo que indica que la función está aumentando en ambos intervalos. 5. **Conclusión sobre extremos:** Dado que la derivada no cambia de signo alrededor de \( x = 0 \) (permanece siempre positiva excepto en \( x = 0 \)), no existe un máximo ni un mínimo local en este punto. 6. **Punto de inflexión:** Además, para confirmar que \( x = 0 \) es un punto de inflexión, se puede analizar la segunda derivada: \[ y'' = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6x \] - En \( x = 0 \): \[ y'' = 0 \] - Para \( x < 0 \): \[ y'' = 6x < 0 \] - Para \( x > 0 \): \[ y'' = 6x > 0 \] La segunda derivada cambia de signo al pasar por \( x = 0 \), confirmando que hay un punto de inflexión en \( x = 0 \). **Resumen:** La función \( y = x^{3} - 8 \) no presenta máximos ni mínimos locales, y en \( x = 0 \) se encuentra un punto de inflexión donde la concavidad de la curva cambia.