La longitud de la curva \( y=\frac{1}{2} \ln x-\frac{1}{4} x^{2}, 1 \leq x \leq 2 \) con una aproximación de 3 cifras decimales es: \( \quad \) unidades.

Para calcular la longitud de la curva \( y = \frac{1}{2} \ln x - \frac{1}{4} x^2 \) en el intervalo \( [1, 2] \), se utiliza la fórmula de la longitud de arco: \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] Primero, necesitamos calcular la derivada \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{2} x = \frac{1}{2x} - \frac{1}{2}x \] Luego, simplificamos para encontrar \( \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \): \[ \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \left(\frac{1}{2x} - \frac{1}{2}x\right)^2 = \left(\frac{1 - x^2}{2x}\right)^2 = \frac{(1 - x^2)^2}{4x^2} \] Ahora, calculamos \( 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \): \[ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 1 + \frac{(1 - x^2)^2}{4x^2} = \frac{4x^2 + (1 - x^2)^2}{4x^2} \] Desarrollando \( (1 - x^2)^2 \): \[ (1 - x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4 \] Sustituyendo: \[ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{4x^2 + 1 - 2x^2 + x^4}{4x^2} = \frac{x^4 + 2x^2 + 1}{4x^2} = \frac{(x^2 + 1)^2}{4x^2} \] Tomando la raíz cuadrada: \[ \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} = \frac{x^2 + 1}{2x} \] Ahora, la integral para la longitud de arco se convierte en: \[ L = \int_{1}^{2} \frac{x^2 + 1}{2x} \, dx \] Separando la fracción: \[ L = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \left( x + \frac{1}{x} \right) \, dx \] Calculando la integral: \[ L = \frac{1}{2} \left( \left[ \frac{x^2}{2} + \ln|x| \right]_{1}^{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{2^2}{2} + \ln(2) \right) - \left( \frac{1^2}{2} + \ln(1) \right) \right) \] \[ L = \frac{1}{2} \left( 2 + \ln(2) - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} + \ln(2) \right) \] \[ L = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \ln(2) \] Finalmente, calculamos el valor numérico aproximado: \[ \ln(2) \approx 0.693 \] Por lo que: \[ L \approx \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \times 0.693 \approx 0.75 + 0.3465 \approx 1.0965 \] Redondeando a tres cifras decimales, la longitud de la curva es aproximadamente: \[ \boxed{1.097} \text{ unidades.} \]