\( = \sqrt { x ^ { 3 } + 4 x + 1 } + c , c \in R \)

L'espressione che hai fornito sembra rappresentare una soluzione generale, probabilmente relativa a un'integrazione indefinita. Ecco una spiegazione in italiano: \[ \int \sqrt{x^{3} + 4x + 1} \, dx = \sqrt{x^{3} + 4x + 1} + c, \quad c \in \mathbb{R} \] **Spiegazione:** 1. **Integrale Indefinito:** - L'integrale indefinito di una funzione \( f(x) \) è una funzione primitiva \( F(x) \) tale che \( F'(x) = f(x) \). - In questo caso, supponiamo che tu stia cercando una funzione \( F(x) \) tale che: \[ F'(x) = \sqrt{x^{3} + 4x + 1} \] 2. **Verifica della Soluzione:** - Per verificare se la soluzione proposta è corretta, deriviamo il lato destro dell'equazione: \[ F(x) = \sqrt{x^{3} + 4x + 1} + c \] \[ F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^{3} + 4x + 1} \right) + \frac{d}{dx}(c) \] \[ F'(x) = \frac{3x^{2} + 4}{2\sqrt{x^{3} + 4x + 1}} + 0 \] \[ F'(x) = \frac{3x^{2} + 4}{2\sqrt{x^{3} + 4x + 1}} \] - Se confrontiamo questa derivata con la funzione sotto l'integrale originale \( \sqrt{x^{3} + 4x + 1} \), notiamo che non sono uguali. Questo significa che la soluzione proposta non è corretta per l'integrale dato. 3. **Possibile Correzione:** - L'integrale di \( \sqrt{x^{3} + 4x + 1} \) non ha una soluzione espressa in termini di funzioni elementari. Potrebbe richiedere metodi avanzati o l'uso di funzioni speciali per essere risolto. - Se hai ottenuto questa soluzione durante un esercizio, ti consiglio di ricontrollare i passaggi o utilizzare strumenti di calcolo simbolico per verificare la correttezza. Se hai bisogno di ulteriori chiarimenti o assistenza su questo argomento, non esitare a chiedere!