\begin{tabular}{l}\( \qquad x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}-14 y=\ln (x) \) \\ Escriba la ecuación característica para la solución homogénea en función de \( m: \) \\ Indique las raíces de la ecuación característica (Ejemplo de escritura: \( \left\{m_{1}, m_{2}, \ldots m_{n}\right\} \) ): \\ Indique las ṣoluciones homogéneas de la ecuación diferencial (Ejemplo de escritura: \( \left\{y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}\right. \) \\ - Indique el valor del Wronskiano: \\ - Indique la solución particular: \\ - \\ \hline\end{tabular}

Para la ecuación homogénea asociada \(x^{2}y^{\prime\prime} - 4xy^{\prime} - 14y = 0\), la forma característica se obtiene al suponer \(y = x^{m}\). Al sustituir y simplificar, llegamos a la ecuación característica: \(m(m-1) - 4m - 14 = 0\). Las raíces de la ecuación característica son \( \{ -2, 7 \} \). Por lo tanto, las soluciones homogéneas son \( \{ y_{1} = x^{-2}, y_{2} = x^{7} \} \). El Wronskiano se calcula como \( W(y_1, y_2) = y_1 y_2' - y_2 y_1' \). Este, al evaluar con las soluciones dadas, da un valor de \( W = 7x^5 \). Para la solución particular, como el lado derecho es \( \ln(x) \), se puede usar el método de coeficientes indeterminados, que lleva a una solución de la forma \( y_p = A \ln(x) + B \).