Aufgabe: (2 Punkte) Gegeben ist die Ebene E: \( -4 x_{1}-8 x_{2}-x_{3}=16 \). Bestimme die Gleichung einer Ebene F, die parallel zu E ist und den Abstand \( \mathrm{d}=27 \mathrm{zu} \) E hat. 1.25 1 2 4

Um die Gleichung der Ebene \( F \) zu bestimmen, die parallel zur gegebenen Ebene \( E: -4x_{1} - 8x_{2} - x_{3} = 16 \) ist und einen Abstand von \( d = 27 \) zur Ebene \( E \) hat, gehen wir wie folgt vor: 1. **Bestimmung der Normalenvektoren:** Beide Ebenen \( E \) und \( F \) sind parallel, daher haben sie denselben Normalenvektor \( \mathbf{n} = (-4, -8, -1) \). 2. **Abstand zwischen parallelen Ebenen:** Der Abstand \( d \) zwischen zwei parallelen Ebenen \( ax + by + cz = d_1 \) und \( ax + by + cz = d_2 \) wird durch die Formel \[ d = \frac{|d_2 - d_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] bestimmt. 3. **Anwendung der Formel:** Setzen wir \( d = 27 \), \( d_1 = 16 \) und die Normalenkomponenten \( a = -4 \), \( b = -8 \), \( c = -1 \) ein: \[ 27 = \frac{|D - 16|}{\sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + (-1)^2}} = \frac{|D - 16|}{\sqrt{16 + 64 + 1}} = \frac{|D - 16|}{9} \] Daraus folgt: \[ |D - 16| = 243 \] Also gibt es zwei Möglichkeiten für \( D \): \[ D = 16 + 243 = 259 \quad \text{oder} \quad D = 16 - 243 = -227 \] 4. **Gleichungen der Ebenen \( F \):** \[ -4x_{1} - 8x_{2} - x_{3} = 259 \quad \text{oder} \quad -4x_{1} - 8x_{2} - x_{3} = -227 \] **Endergebnis:** Die Ebenengleichung von \( F \), die parallel zu \( E \) ist und einen Abstand von 27 zu \( E \) hat, lautet entweder \[ -4x_{1} - 8x_{2} - x_{3} = 259 \] oder \[ -4x_{1} - 8x_{2} - x_{3} = -227. \]