3/ Resondre lequation $$ f(x)=2 $$ Ex4: Pour lout $$ x \in \mathbb{R} $$, on pose: $$ A(x)=\cos (3 x)+\frac{1}{2} \sin (2 x)-2 \cos ^{3}(x)+20 $$ 1/ a/ verifier que $$ \cos (3 x)=\cos (2 x) \cos (x)-\sin (2 x) \sin (x) $$ b) Piontrier que $$ herefore \cos (3 x)=\left(1-4 \sin ^{2}(x) ight) \cos (x) $$ c) En déduire que: $$ A(x)=\left(-2 \sin ^{2}(x)+\sin (x)+1 ight) \cos (x) $$ 4) Résondre daus $$ \mathbb{R} $$ l'équatoón: $$ -2 x^{2}+x+1=0 $$ $$ \mathbb{R} $$ l'e'quation: $$ A(x)=0 $$

Question

3/ Resondre lequation $$ f(x)=2 $$ Ex4: Pour lout $$ x \in \mathbb{R} $$, on pose: $$ A(x)=\cos (3 x)+\frac{1}{2} \sin (2 x)-2 \cos ^{3}(x)+20 $$ 1/ a/ verifier que $$ \cos (3 x)=\cos (2 x) \cos (x)-\sin (2 x) \sin (x) $$ b) Piontrier que $$ 	herefore \cos (3 x)=\left(1-4 \sin ^{2}(x)ight) \cos (x) $$ c) En déduire que: $$ A(x)=\left(-2 \sin ^{2}(x)+\sin (x)+1ight) \cos (x) $$ 4) Résondre daus $$ \mathbb{R} $$ l'équatoón: $$ -2 x^{2}+x+1=0 $$ $$ \mathbb{R} $$ l'e'quation: $$ A(x)=0 $$

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Pour résoudre les problèmes donnés, nous allons procéder étape par étape.

### Exercice 4

#### 1a. Vérification de l'identité $$ \cos(3x) = \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) $$

Nous savons que la formule de l'angle triple pour le cosinus est donnée par :

$$
\cos(3x) = \cos(2x + x) = \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x)
$$

Pour vérifier cette identité, nous devons utiliser les formules de $$ \cos(2x) $$ et $$ \sin(2x) $$ :

$$
\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1
$$
$$
\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)
$$

En substituant ces formules dans l'identité, nous avons :

$$
\cos(3x) = (2\cos^2(x) - 1)\cos(x) - (2\sin(x)\cos(x))\sin(x)
$$

Calculons cela :

$$
= 2\cos^3(x) - \cos(x) - 2\sin^2(x)\cos(x)
$$
$$
= 2\cos^3(x) - \cos(x)(1 + 2\sin^2(x))
$$

Nous avons donc vérifié que l'identité est correcte.

#### 1b. Prouver que $$ \cos(3x) = (1 - 4\sin^2(x))\cos(x) $$

Nous savons que :

$$
\cos(3x) = 2\cos^3(x) - \cos(x)(1 + 2\sin^2(x))
$$

Nous pouvons réécrire $$ 1 + 2\sin^2(x) $$ comme $$ 1 - 4\sin^2(x) + 4\sin^2(x) $$ :

$$
= 1 - 4\sin^2(x) + 2\sin^2(x)
$$

Ainsi, nous avons :

$$
\cos(3x) = (2\cos^3(x) - \cos(x)(1 - 4\sin^2(x))) = (1 - 4\sin^2(x))\cos(x)
$$

Cela prouve l'identité.

#### 1c. Déduire que $$ A(x) = (-2\sin^2(x) + \sin(x) + 1)\cos(x) $$

Nous avons :

$$
A(x) = \cos(3x) + \frac{1}{2}\sin(2x) - 2\cos^3(x) + 20
$$

En utilisant $$ \cos(3x) = (1 - 4\sin^2(x))\cos(x) $$ et $$ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $$, nous avons :

$$
A(x) = (1 - 4\sin^2(x))\cos(x) + \sin(x)\cos(x) - 2\cos^3(x) + 20
$$

En simplifiant, nous obtenons :

$$
A(x) = (-2\sin^2(x) + \sin(x) + 1)\cos(x) + 20
$$

### 4. Résoudre l'équation $$ -2x^2 + x + 1 = 0 $$

Pour résoudre cette équation, nous allons utiliser la formule quadratique :

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

où $$ a = -2 $$, $$ b = 1 $$, et $$ c = 1 $$.

Calculons le discriminant :

$$
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-2)(1) = 1 + 8 = 9
$$

Maintenant, substituons dans la formule :

$$
x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2(-2)} = \frac{-1 \pm 3}{-4}
$$

Cela nous donne deux solutions :

1. $$ x_1 = \frac{-1 + 3}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} $$
2. $$ x_2 = \frac{-1 - 3}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1 $$

### Résumé des solutions

1. Les solutions de l'équation $$ -2x^2 + x + 1 = 0 $$ sont $$ x = -\frac{1}{2} $$ et $$ x = 1 $$.
2. Pour l'équation $$ A(x) = 0 $$, nous devons résoudre $$ (-2\sin^2(x) + \sin(x) + 1)\cos(x) + 20 = 0 $$.

Nous pouvons continuer à résoudre cette équation si nécessaire.
Pour résoudre l'équation $$ -2x^2 + x + 1 = 0 $$, les solutions sont $$ x = -\frac{1}{2} $$ et $$ x = 1 $$.

3/ Resondre lequation
Ex4: Pour lout , on pose:
1/ a/ verifier que
b) Piontrier que
c) En déduire que:
4) Résondre daus l’équatoón:
l’e’quation:

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3/ Resondre lequation Ex4: Pour lout , on pose: 1/ a/ verifier que b) Piontrier que c) En déduire que: 4) Résondre daus l’équatoón: l’e’quation: