Ex4: Pour tout $$ x \in \mathbb{R} $$, on pose: $$ A(x)=\cos (3 x)+\frac{1}{2} \sin (2 x)-2 \cos ^{3}(x)+2 \cos (x) $$ 1/ a/ verifier que $$ \cos (3 x)=\cos (2 x) \cos (x)-\sin (2 x) \sin (x) $$ b/ Piontrér que $$ herefore \cos (3 x)=\left(1-4 \sin ^{2}(x) ight) \cos (x) $$ 4/ En déduire que: $$ A(x)=\left(-2 \sin ^{2}(x)+\sin (x)+1 ight) \cos (x) $$ 2/ Résondre dans $$ \mathbb{R} $$ l'équation: $$ -2 x^{2}+X+1=0 $$ $$ 3 / $$ Re'sondre dans $$ \mathbb{R} $$ l'équation: $$ A(x)=0 $$

Question

Ex4: Pour tout $$ x \in \mathbb{R} $$, on pose: $$ A(x)=\cos (3 x)+\frac{1}{2} \sin (2 x)-2 \cos ^{3}(x)+2 \cos (x) $$ 1/ a/ verifier que $$ \cos (3 x)=\cos (2 x) \cos (x)-\sin (2 x) \sin (x) $$ b/ Piontrér que $$ 	herefore \cos (3 x)=\left(1-4 \sin ^{2}(x)ight) \cos (x) $$ 4/ En déduire que: $$ A(x)=\left(-2 \sin ^{2}(x)+\sin (x)+1ight) \cos (x) $$ 2/ Résondre dans $$ \mathbb{R} $$ l'équation: $$ -2 x^{2}+X+1=0 $$ $$ 3 / $$ Re'sondre dans $$ \mathbb{R} $$ l'équation: $$ A(x)=0 $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Bien sûr, je vais vous aider à résoudre cet exercice étape par étape.

### 1. a) Vérifier que $$ \cos (3x) = \cos (2x) \cos (x) - \sin (2x) \sin (x) $$

Pour vérifier cette identité, utilisons les formules de somme pour le cosinus :

$$
\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B
$$

En posant $$ A = 2x $$ et $$ B = x $$, nous obtenons :

$$
\cos(2x + x) = \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x)
$$

Donc,

$$
\cos(3x) = \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x)
$$

Cela vérifie l'identité donnée.

### 1. b) Pionter que $$ \cos (3x) = \left(1 - 4 \sin^{2}(x)\right) \cos (x) $$

Nous devons exprimer $$ \cos(2x) $$ et $$ \sin(2x) $$ en fonction de $$ \sin(x) $$ et $$ \cos(x) $$.

Rappelons les identités suivantes :

$$
\cos(2x) = 1 - 2 \sin^{2}(x)
$$
$$
\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)
$$

Remplaçons ces expressions dans l'identité vérifiée en 1.a :

$$
\cos(3x) = \left(1 - 2 \sin^{2}(x)\right) \cos(x) - 2 \sin(x) \cos(x) \sin(x)
$$
$$
= \left(1 - 2 \sin^{2}(x)\right) \cos(x) - 2 \sin^{2}(x) \cos(x)
$$
$$
= \left(1 - 2 \sin^{2}(x) - 2 \sin^{2}(x)\right) \cos(x)
$$
$$
= \left(1 - 4 \sin^{2}(x)\right) \cos(x)
$$

Ainsi,

$$
\cos(3x) = \left(1 - 4 \sin^{2}(x)\right) \cos(x)
$$

### 4. En déduire que $$ A(x) = \left(-2 \sin^{2}(x) + \sin(x) + 1\right) \cos(x) $$

Reprenons l'expression initiale de $$ A(x) $$:

$$
A(x) = \cos(3x) + \frac{1}{2} \sin(2x) - 2 \cos^{3}(x) + 2 \cos(x)
$$

Utilisons l'expression trouvée en 1.b pour $$ \cos(3x) $$ :

$$
A(x) = \left(1 - 4 \sin^{2}(x)\right) \cos(x) + \frac{1}{2} \sin(2x) - 2 \cos^{3}(x) + 2 \cos(x)
$$

Développons $$ \sin(2x) $$ et simplifions :

$$
\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)
$$
$$
A(x) = \left(1 - 4 \sin^{2}(x)\right) \cos(x) + \frac{1}{2} \cdot 2 \sin(x) \cos(x) - 2 \cos^{3}(x) + 2 \cos(x)
$$
$$
= \left(1 - 4 \sin^{2}(x)\right) \cos(x) + \sin(x) \cos(x) - 2 \cos^{3}(x) + 2 \cos(x)
$$

Factorisons $$ \cos(x) $$ dans tous les termes :

$$
= \cos(x) \left(1 - 4 \sin^{2}(x) + \sin(x) - 2 \cos^{2}(x) + 2 \right)
$$

Remarquons que $$ \cos^{2}(x) = 1 - \sin^{2}(x) $$, donc :

$$
-2 \cos^{2}(x) = -2 (1 - \sin^{2}(x)) = -2 + 2 \sin^{2}(x)
$$

Substituons cette expression :

$$
= \cos(x) \left(1 - 4 \sin^{2}(x) + \sin(x) - 2 + 2 \sin^{2}(x) + 2 \right)
$$
$$
= \cos(x) \left( (1 - 2 + 2) + (-4 \sin^{2}(x) + 2 \sin^{2}(x)) + \sin(x) \right)
$$
$$
= \cos(x) \left( 1 - 2 \sin^{2}(x) + \sin(x) \right)
$$
$$
= \left(-2 \sin^{2}(x) + \sin(x) + 1\right) \cos(x)
$$

Ainsi,

$$
A(x) = \left(-2 \sin^{2}(x) + \sin(x) + 1\right) \cos(x)
$$

### 2. Résoudre dans $$ \mathbb{R} $$ l'équation : $$ -2x^{2} + x + 1 = 0 $$

Nous avons l'équation quadratique :

$$
-2x^{2} + x + 1 = 0
$$

Pour résoudre cette équation, utilisons la formule du discriminant :

$$
\Delta = b^{2} - 4ac
$$

Ici, $$ a = -2 $$, $$ b = 1 $$, et $$ c = 1 $$. Calculons $$ \Delta $$ :

$$
\Delta = 1^{2} - 4 \cdot (-2) \cdot 1 = 1 + 8 = 9
$$

Comme $$ \Delta > 0 $$, il y a deux solutions réelles distinctes :

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2 \cdot (-2)}
$$

Calculons les deux solutions :

1. $$ x = \frac{-1 + 3}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} $$
2. $$ x = \frac{-1 - 3}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1 $$

Ainsi, les solutions sont :

$$
x = -\frac{1}{2} \quad \text{et} \quad x = 1
$$

### 3. Résoudre dans $$ \mathbb{R} $$ l'équation : $$ A(x) = 0 $$

Nous avons :

$$
A(x) = \left(-2 \sin^{2}(x) + \sin(x) + 1\right) \cos(x) = 0
$$

Pour que ce produit soit nul, au moins un des facteurs doit être nul.

#### a) $$ \cos(x) = 0 $$

Les solutions sont :

$$
x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

#### b) $$ -2 \sin^{2}(x) + \sin(x) + 1 = 0 $$

Résolvons cette équation quadratique en $$ \sin(x) $$. Posons $$ y = \sin(x) $$ :

$$
-2y^{2} + y + 1 = 0
$$

Calculons le discriminant :

$$
\Delta = 1^{2} - 4 \cdot (-2) \cdot 1 = 1 + 8 = 9
$$

Solutions :

$$
y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{-4}
$$

Calculons les deux solutions :

1. $$ y = \frac{-1 + 3}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} $$
2. $$ y = \frac{-1 - 3}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1 $$

Ainsi, $$ \sin(x) = -\frac{1}{2} $$ ou $$ \sin(x) = 1 $$.

**i) $$ \sin(x) = -\frac{1}{2} $$**

Les solutions sont :

$$
x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

**ii) $$ \sin(x) = 1 $$**

La seule solution est :

$$
x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

### Synthèse des solutions de $$ A(x) = 0 $$

Les solutions sont donc :

1. $$ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$ (provenant de $$ \cos(x) = 0 $$)
2. $$ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi $$ et $$ x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$ (provenant de $$ \sin(x) = -\frac{1}{2} $$)
3. $$ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$ (provenant de $$ \sin(x) = 1 $$)

Remarquez que $$ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi $$ apparaît dans les deux cas $$ \cos(x) = 0 $$ et $$ \sin(x) = 1 $$, ce qui est cohérent puisque à ces points $$ \cos(x) = 0 $$ et $$ \sin(x) = 1 $$.

### En résumé

1. **Vérification des identités trigonométriques** :
   - $$ \cos(3x) = \cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x) $$
   - $$ \cos(3x) = (1 - 4 \sin^{2}(x)) \cos(x) $$

2. **Expression simplifiée de $$ A(x) $$** :
   $$
   A(x) = \left(-2 \sin^{2}(x) + \sin(x) + 1\right) \cos(x)
   $$

3. **Résolution des équations** :
   - L'équation quadratique $$ -2x^{2} + x + 1 = 0 $$ a pour solutions $$ x = -\frac{1}{2} $$ et $$ x = 1 $$.
   - L'équation $$ A(x) = 0 $$ admet pour solutions :
     $$
     x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
     $$

N'hésitez pas si vous avez besoin de clarifications supplémentaires !
Voici la simplification des réponses : 1. **Vérification des identités trigonométriques** : - $$ \cos(3x) = \cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x) $$ - $$ \cos(3x) = (1 - 4 \sin^{2}(x)) \cos(x) $$ 2. **Expression simplifiée de $$ A(x) $$** : $$ A(x) = \left(-2 \sin^{2}(x) + \sin(x) + 1\right) \cos(x) $$ 3. **Résolution des équations** : - L'équation quadratique $$ -2x^{2} + x + 1 = 0 $$ a pour solutions $$ x = -\frac{1}{2} $$ et $$ x = 1 $$. - L'équation $$ A(x) = 0 $$ admet pour solutions : $$ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ainsi, les solutions sont clairement identifiées sans jugements supplémentaires.

Ex4: Pour tout , on pose:
1/ a/ verifier que
b/ Piontrér que
4/ En déduire que:
2/ Résondre dans l’équation:
Re’sondre dans l’équation:

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Ex4: Pour tout , on pose: 1/ a/ verifier que b/ Piontrér que 4/ En déduire que: 2/ Résondre dans l’équation: Re’sondre dans l’équation: