25G Considera i punti \( A(k, 2), B(1, k) \) e \( C(-1,3) \). Deter- mina \( k \) in modo che: a. sia verificata la relazione \( \overline{A B}^{2}+\overline{B C}^{2}=3 \overline{A C}^{2} \); b. detti \( M \) il punto medio di \( A B \) ed \( N \) il punto medio di \( B C \), l'ascissa di \( M \) sia il doppio dell'ordinata di \( N \). [a. \( k=\frac{2}{3} ; \) b. \( \left.k=-5\right] \)

Certamente, verifichiamo le soluzioni fornite per entrambe le parti del problema. ### **Parte a** **Condizione data:** \[ \overline{A B}^{2} + \overline{B C}^{2} = 3 \overline{A C}^{2} \] **Calcoliamo le distanze al quadrato:** 1. **Distanza \( \overline{A B} \):** \[ \overline{A B}^{2} = (1 - k)^2 + (k - 2)^2 = (1 - 2k + k^2) + (k^2 - 4k + 4) = 2k^2 - 6k + 5 \] 2. **Distanza \( \overline{B C} \):** \[ \overline{B C}^{2} = (1 - (-1))^2 + (k - 3)^2 = 2^2 + (k - 3)^2 = 4 + k^2 - 6k + 9 = k^2 - 6k + 13 \] 3. **Distanza \( \overline{A C} \):** \[ \overline{A C}^{2} = (-1 - k)^2 + (3 - 2)^2 = (k + 1)^2 + 1 = k^2 + 2k + 2 \] **Imponiamo la condizione:** \[ 2k^2 - 6k + 5 + k^2 - 6k + 13 = 3(k^2 + 2k + 2) \] \[ 3k^2 - 12k + 18 = 3k^2 + 6k + 6 \] \[ -12k + 18 = 6k + 6 \] \[ -18k = -12 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{2}{3} \] **Risultato:** \[ k = \frac{2}{3} \] ### **Parte b** **Definizioni:** - \( M \) è il punto medio di \( A B \): \[ M \left( \frac{k + 1}{2}, \frac{2 + k}{2} \right) \] - \( N \) è il punto medio di \( B C \): \[ N \left( \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{k + 3}{2} \right) = \left( 0, \frac{k + 3}{2} \right) \] **Condizione data:** L'ascissa di \( M \) è il doppio dell'ordinata di \( N \): \[ \frac{k + 1}{2} = 2 \cdot \frac{k + 3}{2} \] \[ \frac{k + 1}{2} = k + 3 \] \[ k + 1 = 2k + 6 \] \[ - k = 5 \quad \Rightarrow \quad k = -5 \] **Risultato:** \[ k = -5 \] ### **Conclusione** Le soluzioni fornite sono corrette: - **a.** \( k = \frac{2}{3} \) - **b.** \( k = -5 \)