17. Prove que \( \sqrt{3} \) é irracional. 18. Prove que \( \sqrt{p} \) é irracional. onde \( p>1 \) é um número primo qualquer. 19. Prove que, se \( p \) e \( q \) forem números primos distintos, então \( \sqrt{p q} \) é irracional.

Claro! Vamos provar cada um desses enunciados passo a passo. --- ### 17. Prove que \( \sqrt{3} \) é irracional. **Prova por contradição:** 1. **Hipótese Inicial:** Suponha que \( \sqrt{3} \) seja racional. Então, podemos expressá-lo como uma fração irreduzível \( \frac{a}{b} \), onde \( a \) e \( b \) são inteiros positivos coprimos (não têm fatores primos em comum além de 1). \[ \sqrt{3} = \frac{a}{b} \] 2. **Elevando ao quadrado ambos os lados:** \[ 3 = \frac{a^2}{b^2} \quad \Rightarrow \quad a^2 = 3b^2 \] 3. **Análise de divisibilidade:** A equação \( a^2 = 3b^2 \) implica que \( a^2 \) é múltiplo de 3. Como 3 é primo, isso implica que \( a \) também é múltiplo de 3. Portanto, podemos escrever \( a = 3k \), onde \( k \) é um inteiro. 4. **Substituindo \( a = 3k \) na equação original:** \[ (3k)^2 = 3b^2 \quad \Rightarrow \quad 9k^2 = 3b^2 \quad \Rightarrow \quad b^2 = 3k^2 \] Isto implica que \( b^2 \) também é múltiplo de 3, e, consequentemente, \( b \) é múltiplo de 3. 5. **Contradição:** Se tanto \( a \) quanto \( b \) são múltiplos de 3, então eles têm um fator comum de 3, o que contraria a nossa hipótese inicial de que \( \frac{a}{b} \) estava em forma irreduzível. 6. **Conclusão:** A suposição de que \( \sqrt{3} \) é racional leva a uma contradição. Portanto, \( \sqrt{3} \) é irracional. --- ### 18. Prove que \( \sqrt{p} \) é irracional, onde \( p > 1 \) é um número primo qualquer. **Prova por contradição:** 1. **Hipótese Inicial:** Suponha que \( \sqrt{p} \) seja racional para um número primo \( p > 1 \). Então, podemos escrevê-lo como \( \frac{a}{b} \), onde \( a \) e \( b \) são inteiros positivos coprimos. \[ \sqrt{p} = \frac{a}{b} \] 2. **Elevando ao quadrado ambos os lados:** \[ p = \frac{a^2}{b^2} \quad \Rightarrow \quad a^2 = p b^2 \] 3. **Análise de divisibilidade:** A equação \( a^2 = p b^2 \) implica que \( a^2 \) é múltiplo de \( p \). Como \( p \) é primo, isso implica que \( a \) também é múltiplo de \( p \). Portanto, podemos escrever \( a = p k \), onde \( k \) é um inteiro. 4. **Substituindo \( a = p k \) na equação original:** \[ (p k)^2 = p b^2 \quad \Rightarrow \quad p^2 k^2 = p b^2 \quad \Rightarrow \quad p k^2 = b^2 \] Isto implica que \( b^2 \) é múltiplo de \( p \), e, portanto, \( b \) também é múltiplo de \( p \). 5. **Contradição:** Se tanto \( a \) quanto \( b \) são múltiplos de \( p \), então \( \frac{a}{b} \) não estaria em forma irreduzível, o que contradiz nossa hipótese inicial. 6. **Conclusão:** A suposição de que \( \sqrt{p} \) é racional leva a uma contradição. Portanto, \( \sqrt{p} \) é irracional para qualquer número primo \( p > 1 \). --- ### 19. Prove que, se \( p \) e \( q \) forem números primos distintos, então \( \sqrt{p q} \) é irracional. **Prova por contradição:** 1. **Hipótese Inicial:** Suponha que \( \sqrt{pq} \) seja racional, onde \( p \) e \( q \) são primos distintos. Então, podemos expressá-lo como \( \frac{a}{b} \), onde \( a \) e \( b \) são inteiros positivos coprimos. \[ \sqrt{p q} = \frac{a}{b} \] 2. **Elevando ao quadrado ambos os lados:** \[ p q = \frac{a^2}{b^2} \quad \Rightarrow \quad a^2 = p q b^2 \] 3. **Análise de divisibilidade:** - A equação \( a^2 = p q b^2 \) implica que \( p \) e \( q \) dividem \( a^2 \). - Como \( p \) e \( q \) são primos distintos, e primos dividem quadrados apenas se eles próprios dividirem o número base, então \( p \) divide \( a \) e \( q \) também divide \( a \). - Portanto, \( a \) deve ser múltiplo de \( p q \), isto é, \( a = p q k \), onde \( k \) é um inteiro. 4. **Substituindo \( a = p q k \) na equação original:** \[ (p q k)^2 = p q b^2 \quad \Rightarrow \quad p^2 q^2 k^2 = p q b^2 \quad \Rightarrow \quad p q k^2 = b^2 \] Isto implica que \( b^2 \) é múltiplo de \( p \) e de \( q \), portanto, \( b \) também é múltiplo de \( p \) e de \( q \). 5. **Contradição:** Se tanto \( a \) quanto \( b \) são múltiplos de \( p q \), então \( \frac{a}{b} \) não estaria em forma irreduzível, o que contradiz nossa hipótese inicial. 6. **Conclusão:** A suposição de que \( \sqrt{p q} \) é racional leva a uma contradição. Portanto, \( \sqrt{p q} \) é irracional quando \( p \) e \( q \) são primos distintos. --- Essas provas demonstram que tais raízes quadradas envolvendo números primos resultam em números irracionais.