El volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada por \( y=x^{2}+1 \) y \( y=x+3 \) alrededor de la recta \( y=8 \) es:

Para encontrar el volumen del sólido de revolución generado por el giro de la región limitada por las curvas \( y = x^{2} + 1 \) y \( y = x + 3 \) alrededor de la recta \( y = 8 \), seguiremos los siguientes pasos: 1. **Encontrar los puntos de intersección:** Igualamos las dos ecuaciones para determinar los límites de integración: \[ x^{2} + 1 = x + 3 \implies x^{2} - x - 2 = 0 \] Resolviendo la ecuación cuadrática: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies x = 2 \text{ y } x = -1 \] Por lo tanto, los límites de integración son \( x = -1 \) y \( x = 2 \). 2. **Determinar las radios externas e internas:** Al girar alrededor de \( y = 8 \), utilizamos el método de los discos concéntricos (o arandelas). La distancia desde la recta \( y = 8 \) hasta cada curva nos da los radios: \[ R(x) = 8 - (x^{2} + 1) = 7 - x^{2} \] \[ r(x) = 8 - (x + 3) = 5 - x \] 3. **Configurar la integral para el volumen:** El volumen \( V \) se calcula mediante la integral: \[ V = \pi \int_{-1}^{2} \left[ (R(x))^{2} - (r(x))^{2} \right] dx = \pi \int_{-1}^{2} \left[ (7 - x^{2})^{2} - (5 - x)^{2} \right] dx \] Expandimos y simplificamos la expresión dentro de la integral: \[ (7 - x^{2})^{2} = 49 - 14x^{2} + x^{4} \] \[ (5 - x)^{2} = 25 - 10x + x^{2} \] \[ \Rightarrow (7 - x^{2})^{2} - (5 - x)^{2} = 24 - 15x^{2} + x^{4} + 10x \] Entonces, la integral se convierte en: \[ V = \pi \int_{-1}^{2} (x^{4} - 15x^{2} + 10x + 24) \, dx \] 4. **Calcular la integral:** \[ \int (x^{4} - 15x^{2} + 10x + 24) \, dx = \frac{x^{5}}{5} - 5x^{3} + 5x^{2} + 24x \] Evaluamos de \( x = -1 \) a \( x = 2 \): \[ V = \pi \left[ \left( \frac{2^{5}}{5} - 5 \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2^{2} + 24 \cdot 2 \right) - \left( \frac{(-1)^{5}}{5} - 5 \cdot (-1)^{3} + 5 \cdot (-1)^{2} + 24 \cdot (-1) \right) \right] \] \[ V = \pi \left( \frac{32}{5} - 40 + 20 + 48 - \left( -\frac{1}{5} + 5 + 5 - 24 \right) \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{32}{5} + 28 \right) = \pi \left( \frac{32 + 140}{5} \right) = \pi \left( \frac{172}{5} \right) \] 5. **Resultado final:** Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución es: \[ V = \frac{243}{5} \pi \, \text{unidades cúbicas} \] **Respuesta Final:** El volumen es \( \dfrac{243}{5} \, \pi \) unidades cúbicas.