Ejercicio 4 a) \( [8 \mathrm{p}] \) Obtenga una ecuación punto-normal del plano que contiene a los puntos \( P, Q \) y \( R \) : \[ P(0,1,-1) \quad O(2,-1,-3) \quad R(-1,4,2) \]

Para obtener la ecuación punto-normal del plano que contiene los puntos \( P(0,1,-1) \), \( Q(2,-1,-3) \), y \( R(-1,4,2) \), primero necesitamos encontrar dos vectores en el plano. Estos se pueden obtener restando las coordenadas de los puntos: 1. Primero, calculamos los vectores \( \vec{PQ} \) y \( \vec{PR} \): \[ \vec{PQ} = Q - P = (2 - 0, -1 - 1, -3 + 1) = (2, -2, -2) \] \[ \vec{PR} = R - P = (-1 - 0, 4 - 1, 2 + 1) = (-1, 3, 3) \] 2. Luego, calculamos el producto cruzado de \( \vec{PQ} \) y \( \vec{PR} \) para obtener el vector normal del plano \( \vec{n} \): \[ \vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & -2 \\ -1 & 3 & 3 \end{vmatrix} \] Al resolver el determinante: \[ \vec{n} = \hat{i}((-2)(3) - (-2)(3)) - \hat{j}(2 \cdot 3 - (-2)(-1)) + \hat{k}(2 \cdot 3 - (-2)(-1)) \] \[ = \hat{i}(-6 + 6) - \hat{j}(6 - 2) + \hat{k}(6 - 2) = \hat{i}(0) - \hat{j}(4) + \hat{k}(4) \] \[ = (0, -4, 4) \] 3. Ahora que tenemos el vector normal \( \vec{n}(0, -4, 4) \), podemos usar el punto \( P(0,1,-1) \) para escribir la ecuación del plano en la forma: \[ 0(x - 0) - 4(y - 1) + 4(z + 1) = 0 \] Simplificando esto, tenemos: \[ -4y + 4z + 4 = 0 \quad \text{o} \quad 4z - 4y + 4 = 0 \quad \text{o} \quad z - y + 1 = 0 \] Por lo tanto, la ecuación punto-normal del plano es \( z - y + 1 = 0 \).