My MB über mathebattle Hilfe News Aufgabe: $$ (2 $$ Punkte $$ ) $$ Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen E: $$ 6 x_{1}-3 x_{2}-6 x_{3}=12 $$ und F: $$ -12 x_{1}+6 x_{2}+12 x_{3}=-24 $$ Berechne ggf. den Abstand. Ebenen sind identisch Eingelog BL-EG Ebenen sind parallel, Abstand der parallelen Ebenen d $$ = $$ Ebenen schneiden sich

Question

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Um die gegenseitige Lage der beiden Ebenen $$ E $$ und $$ F $$ zu untersuchen, gehen wir wie folgt vor:

**Gegebene Ebenen:**
$$
E: 6x_{1} - 3x_{2} - 6x_{3} = 12
$$
$$
F: -12x_{1} + 6x_{2} + 12x_{3} = -24
$$

**Schritt 1: Überprüfung auf Parallelität oder Identität**
- **Vergleich der Normalenvektoren:**
  - Normalenvektor von $$ E $$: $$ \vec{n}_E = (6, -3, -6) $$
  - Normalenvektor von $$ F $$: $$ \vec{n}_F = (-12, 6, 12) $$

- **Verhältnis der Komponenten:**
  $$
  \frac{-12}{6} = -2, \quad \frac{6}{-3} = -2, \quad \frac{12}{-6} = -2
  $$
  Alle Komponenten von $$ \vec{n}_F $$ sind das $$ -2 $$-fache der entsprechenden Komponenten von $$ \vec{n}_E $$.

**Schritt 2: Überprüfung der Konstanten**
- Multiplizieren wir die Gleichung von $$ E $$ mit $$ -2 $$:
  $$
  -2 \times (6x_{1} - 3x_{2} - 6x_{3}) = -2 \times 12
  $$
  $$
  -12x_{1} + 6x_{2} + 12x_{3} = -24
  $$
  Dies entspricht genau der Gleichung von $$ F $$.

**Schlussfolgerung:**
Da sowohl die Normalenvektoren proportional sind als auch die Konstanten im gleichen Verhältnis stehen, handelt es sich bei den Ebenen $$ E $$ und $$ F $$ um **identische Ebenen**.

**Antwort:**
>Ebenen sind identisch
Die beiden Ebenen $$ E $$ und $$ F $$ sind identisch.

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