Comprosar las malrices: \( A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 0\end{array}\right) \) y \( B=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right) \) que: a) \( (A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} \) b) \( (A-B)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2} \) c) \( (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} \)

Claro, vamos a comprobar cada una de las propiedades indicadas utilizando las matrices \( A \) y \( B \) dadas: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \] ### a) Verificar que \((A+B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}\) **Paso 1: Calcular \( A + B \)** \[ A + B = \begin{pmatrix} 1+2 & 2+(-1) \\ 3+1 & 0+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \] **Paso 2: Calcular \((A + B)^{2}\)** \[ (A + B)^{2} = (A + B)(A + B) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 + 1 \cdot 4 & 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \\ 4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 & 4 \cdot 1 + 3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 6 \\ 24 & 13 \end{pmatrix} \] **Paso 3: Calcular \( A^{2} \), \( AB \) y \( B^{2} \)** - **\( A^{2} = A \cdot A \)** \[ A^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 \\ 3 \cdot 1 + 0 \cdot 3 & 3 \cdot 2 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \] - **\( AB = A \cdot B \)** \[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 & 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & -3 \end{pmatrix} \] - **\( B^{2} = B \cdot B \)** \[ B^{2} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 & 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 \\ 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} \] **Paso 4: Calcular \( A^{2} + 2AB + B^{2} \)** Primero, calculamos \( 2AB \): \[ 2AB = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ 12 & -6 \end{pmatrix} \] Luego sumamos \( A^{2} + 2AB + B^{2} \): \[ A^{2} + 2AB + B^{2} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ 12 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 7+8+3 & 2+10-5 \\ 3+12+5 & 6-6+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 7 \\ 20 & 8 \end{pmatrix} \] **Comparación:** \[ (A + B)^{2} = \begin{pmatrix} 13 & 6 \\ 24 & 13 \end{pmatrix} \neq A^{2} + 2AB + B^{2} = \begin{pmatrix} 18 & 7 \\ 20 & 8 \end{pmatrix} \] Por lo tanto, la propiedad **a)** no se cumple para las matrices dadas. --- ### b) Verificar que \((A-B)^{2} = A^{2} - 2AB + B^{2}\) **Paso 1: Calcular \( A - B \)** \[ A - B = \begin{pmatrix} 1-2 & 2-(-1) \\ 3-1 & 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \] **Paso 2: Calcular \((A - B)^{2}\)** \[ (A - B)^{2} = (A - B)(A - B) = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} (-1)\cdot (-1) + 3 \cdot 2 & (-1)\cdot 3 + 3 \cdot (-3) \\ 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 2 & 2 \cdot 3 + (-3) \cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -12 \\ -8 & 15 \end{pmatrix} \] **Paso 3: Calcular \( A^{2} - 2AB + B^{2} \)** Ya calculamos previamente: \[ A^{2} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}, \quad 2AB = \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ 12 & -6 \end{pmatrix}, \quad B^{2} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} \] Entonces: \[ A^{2} - 2AB + B^{2} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 & 10 \\ 12 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 7-8+3 & 2-10-5 \\ 3-12+5 & 6-(-6)+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -13 \\ -4 & 20 \end{pmatrix} \] **Comparación:** \[ (A - B)^{2} = \begin{pmatrix} 7 & -12 \\ -8 & 15 \end{pmatrix} \neq A^{2} - 2AB + B^{2} = \begin{pmatrix} 2 & -13 \\ -4 & 20 \end{pmatrix} \] Por lo tanto, la propiedad **b)** tampoco se cumple para las matrices dadas. --- ### c) Verificar que \((A+B)(A-B) = A^{2} - B^{2}\) **Paso 1: Calcular \( (A + B)(A - B) \)** Ya tenemos: \[ A + B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}, \quad A - B = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \] Entonces: \[ (A + B)(A - B) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 & 3 \cdot 3 + 1 \cdot (-3) \\ 4 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 & 4 \cdot 3 + 3 \cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \] **Paso 2: Calcular \( A^{2} - B^{2} \)** Tenemos: \[ A^{2} = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}, \quad B^{2} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} \] Entonces: \[ A^{2} - B^{2} = \begin{pmatrix} 7-3 & 2-(-5) \\ 3-5 & 6-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \] **Comparación:** \[ (A + B)(A - B) = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \neq A^{2} - B^{2} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \] Por lo tanto, la propiedad **c)** no se cumple para las matrices dadas. --- ### **Conclusión** Ninguna de las propiedades **a)**, **b)** y **c)** se cumple para las matrices \( A \) y \( B \) proporcionadas. Esto se debe a que, en general, las matrices no conmutan (\( AB \neq BA \)), lo que hace que las propiedades similares a las de los números reales no siempre sean válidas para matrices.