2. Өрнегінін мәнін табындар : a) \( \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{5 \pi}{6} \cdot \operatorname{ctg} \frac{2 \pi}{3} \) [26аллл] ә) \( \sin 60^{\circ} \cdot \cos 150^{\circ} \cdot \operatorname{ctg} 45^{\circ} \) \( 3 \cos \alpha=\frac{15}{17} \) болса,онда \( \sin \alpha ; \operatorname{tg} \alpha ; \operatorname{ctg} \alpha- \) ны есептениер. [3баллл] 4. Орнекті ыкшам тантар: \( \left(1+\operatorname{tg}^{2} \alpha\right) \cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha \) [3баллл] 5.Tепе -тендікті дәлелдендер: : \( \frac{\sin \alpha \cos \alpha-\operatorname{tg} \alpha}{1-(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}}=\frac{1}{2} \operatorname{tg}^{2} \alpha \) [5баллл]

Давайте решим каждую из задач по порядку. ### Задача 2a Нам нужно найти значение выражения: \[ \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{5 \pi}{6} \cdot \operatorname{ctg} \frac{2 \pi}{3} \] 1. **Вычислим каждую функцию:** - \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) - \( \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) (так как угол находится во втором квадранте) - \( \operatorname{ctg} \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3} \) (так как \( \operatorname{ctg} \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \)) 2. **Подставим значения в выражение:** \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot (-\sqrt{3}) \] 3. **Упростим:** \[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \] ### Задача 2ә Теперь найдем значение выражения: \[ \sin 60^{\circ} \cdot \cos 150^{\circ} \cdot \operatorname{ctg} 45^{\circ} \] 1. **Вычислим каждую функцию:** - \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) - \( \cos 150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) (так как угол находится во втором квадранте) - \( \operatorname{ctg} 45^{\circ} = 1 \) 2. **Подставим значения в выражение:** \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot 1 \] 3. **Упростим:** \[ = -\frac{3}{4} \] ### Задача 3 Дано: \( 3 \cos \alpha = \frac{15}{17} \) 1. **Найдем \( \cos \alpha \):** \[ \cos \alpha = \frac{15}{51} = \frac{5}{17} \] 2. **Найдем \( \sin \alpha \) с помощью теоремы Пифагора:** \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \left(\frac{5}{17}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{25}{289} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{25}{289} = \frac{289 - 25}{289} = \frac{264}{289} \] \[ \sin \alpha = \frac{\sqrt{264}}{17} = \frac{2\sqrt{66}}{17} \] 3. **Найдем \( \tan \alpha \) и \( \cot \alpha \):** \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2\sqrt{66}}{17}}{\frac{5}{17}} = \frac{2\sqrt{66}}{5} \] \[ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{5}{2\sqrt{66}} \] ### Задача 4 Упростим выражение: \[ \left(1+\tan^2 \alpha\right) \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \] 1. **Используем тождество \( 1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha \):** \[ \sec^2 \alpha \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \] ### Задача 5 Доказать: \[ \frac{\sin \alpha \cos \alpha - \tan \alpha}{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2} = \frac{1}{2} \tan^2 \alpha \] 1. **Упрощаем левую часть:** - \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) - Подставим и упростим. 2. **Упрощаем правую часть:** - \( \tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \) 3. **Покажем, что обе стороны равны.** Таким образом, мы решили все задачи. Если вам нужно больше деталей по какой-либо из задач, дайте знать!