Devoir $$ \mathrm{n}^{-3} $$ TCMF Exercico 1 : (7 pointa) On cumadere le pulynano $$ P(x)=-x^{3}+2 x^{2}+5 x-6 $$ 1 Donner le degrés de $$ P(x) $$ et montror que $$ P(x) $$ eat divinible par $$ x+2 $$. 2. Deeorminier le palyniome $$ Q(x) $$ lel que $$ P(x)=(x+2) Q(x) $$ 3. (a) Montrer que 1 est une racine du polynome $$ Q(x) $$ (b) Factariser le polynorno $$ Q(x) $$ 4. On suppose que $$ \frac{3}{2}

Question

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Pour résoudre les exercices donnés, nous allons procéder étape par étape.

### Exercice 1 : (7 points)

#### 1. Degré de $$ P(x) $$ et divisibilité par $$ x+2 $$

Le polynôme $$ P(x) = -x^3 + 2x^2 + 5x - 6 $$ est de degré 3, car le terme de plus haut degré est $$ -x^3 $$.

Pour montrer que $$ P(x) $$ est divisible par $$ x + 2 $$, nous allons utiliser le théorème de la racine. Si $$ x + 2 $$ est un facteur de $$ P(x) $$, alors $$ P(-2) = 0 $$.

Calculons $$ P(-2) $$ :

$$
P(-2) = -(-2)^3 + 2(-2)^2 + 5(-2) - 6
$$
$$
= -(-8) + 2(4) - 10 - 6
$$
$$
= 8 + 8 - 10 - 6 = 0
$$

Donc, $$ P(-2) = 0 $$, ce qui prouve que $$ P(x) $$ est divisible par $$ x + 2 $$.

#### 2. Déterminer le polynôme $$ Q(x) $$

Nous savons que $$ P(x) = (x + 2) Q(x) $$. Pour trouver $$ Q(x) $$, nous allons effectuer la division de $$ P(x) $$ par $$ x + 2 $$.

Utilisons la division polynomiale :

$$
P(x) = -x^3 + 2x^2 + 5x - 6
$$

Divisons par $$ x + 2 $$:

1. Divisons le premier terme : $$ -x^3 \div x = -x^2 $$.
2. Multiplions $$ -x^2 $$ par $$ x + 2 $$ : $$ -x^3 - 2x^2 $$.
3. Soustrayons : $$ (2x^2 - (-2x^2)) + 5x - 6 = 4x^2 + 5x - 6 $$.
4. Répétons le processus : $$ 4x^2 \div x = 4x $$.
5. Multiplions $$ 4x $$ par $$ x + 2 $$ : $$ 4x^2 + 8x $$.
6. Soustrayons : $$ (5x - 8x) - 6 = -3x - 6 $$.
7. Répétons : $$ -3x \div x = -3 $$.
8. Multiplions $$ -3 $$ par $$ x + 2 $$ : $$ -3x - 6 $$.
9. Soustrayons : $$ 0 $$.

Ainsi, nous avons :

$$
Q(x) = -x^2 + 4x - 3
$$

#### 3. Montrer que 1 est une racine de $$ Q(x) $$

Calculons $$ Q(1) $$ :

$$
Q(1) = -1^2 + 4(1) - 3 = -1 + 4 - 3 = 0
$$

Donc, 1 est une racine de $$ Q(x) $$.

#### (b) Factoriser le polynôme $$ Q(x) $$

Pour factoriser $$ Q(x) = -x^2 + 4x - 3 $$, nous pouvons utiliser la forme factorisée :

$$
Q(x) = - (x - 1)(x - 3)
$$

#### 4. Montrer que $$ 1 < Q(x) < \frac{3}{4} $$ pour $$ \frac{3}{2} < x < \frac{1}{3} $$

Nous allons évaluer $$ Q(x) $$ dans cet intervalle.

Calculons $$ Q\left(\frac{3}{2}\right) $$ et $$ Q\left(\frac{1}{3}\right) $$:

1. Pour $$ x = \frac{3}{2} $$:

$$
Q\left(\frac{3}{2}\right) = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{3}{2}\right) - 3
$$
$$
= -\frac{9}{4} + 6 - 3 = -\frac{9}{4} + \frac{24}{4} - \frac{12}{4} = \frac{3}{4}
$$

2. Pour $$ x = \frac{1}{3} $$:

$$
Q\left(\frac{1}{3}\right) = -\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{3}\right) - 3
$$
$$
= -\frac{1}{9} + \frac{4}{3} - 3 = -\frac{1}{9} + \frac{12}{9} - \frac{27}{9} = -\frac{16}{9}
$$

Ainsi, nous avons $$ Q\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{4} $$ et $$ Q\left(\frac{1}{3}\right) < 1 $$.

#### (b) En déduire que $$ Q(x) $$ est une valeur approchée de $$ Q(x) $$ à la précision 1

Nous avons montré que $$ 1 < Q(x) < \frac{3}{4} $$, donc $$ Q(x) $$ est compris entre ces deux valeurs.

#### 5. Résoudre $$ P(|x|) = 0 $$

Nous savons que $$ P(x) = 0 $$ a pour solutions $$ x = -2, 1, 3 $$. Donc, pour $$ P(|x|) = 0 $$, nous avons :

- $$ |x| = 2 $$ donc $$ x = 2 $$ ou $$ x = -2 $$
- $$ |x| = 1 $$ donc $$ x = 1 $$ ou $$ x = -1 $$
- $$ |x| = 3 $$ donc $$ x = 3 $$ ou $$ x = -3 $$

Les solutions dans $$ \mathbb{R} $$ sont donc $$ x = -3, -2, -1, 1, 2, 3 $$.

### Exercice 2 : (4 points)

#### 1. Représentation paramétrique de la droite $$ (AB) $$

Les points $$ A(0, 3) $$ et $$ B(-1, 2) $$ nous donnent le vecteur directeur $$ \vec{AB} = B - A = (-1 - 0, 2 - 3) = (-1, -1)
### Exercice 1 : (7 points) 1. **Degré de $$ P(x) $$ et divisibilité par $$ x+2 $$** - $$ P(x) = -x^3 + 2x^2 + 5x - 6 $$ est de degré 3. - $$ P(-2) = 0 $$, donc $$ x + 2 $$ est un facteur de $$ P(x) $$. 2. **Déterminer $$ Q(x) $$** - $$ Q(x) = -x^2 + 4x - 3 $$. 3. **Montrer que 1 est une racine de $$ Q(x) $$** - $$ Q(1) = 0 $$. 4. **Montrer que $$ 1 < Q(x) < \frac{3}{4} $$ pour $$ \frac{3}{2} < x < \frac{1}{3} $$** - $$ Q\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{4} $$ et $$ Q\left(\frac{1}{3}\right) < 1 $$. 5. **Résoudre $$ P(|x|) = 0 $$** - Solutions : $$ x = -3, -2, -1, 1, 2, 3 $$. ### Exercice 2 : (4 points) 1. **Représentation paramétrique de la droite $$ (AB) $$** - Vecteur directeur $$ \vec{AB} = (-1, -1) $$. - Représentation paramétrique : $$ x = t $$, $$ y = 3 - t $$ où $$ t \in \mathbb{R} $$. ### Exercice 3 : (8 points) 1. **Calculer la distance $$ AB $$ et la norme de $$ \vec{u} $$** - Distance $$ AB = \sqrt{(2-1)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $$. - Norme de $$ \vec{u} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$. 2. **Équation cartésienne de la droite $$ (D) $$** - Équation : $$ y = x + 1 $$. 3. **Montrer que $$ (AB) $$ et $$ (D) $$ sont sécantes en un seul point** - Intersection : $$ x = 0 $$, $$ y = 1 $$.

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