Paso a ecuaciones cartesianas 1. Elimina el parámetro de cada una de las curvas planas descritas por las siguie ecuaciones paramétricas: (a) $$ x(t)=\sqrt{2 t+4}, y(t)=2 t+1,-2 \leq t \leq 6 $$ (b) $$ x(t)=4 \cos t, y(t)=3 \sin t, 0 \leq t \leq 2 \pi $$ Expresa las curvas mediante expresiones en términos solo de $$ x $$ y $$ y $$.

Question

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Para convertir las ecuaciones paramétricas dadas a ecuaciones cartesianas, debemos eliminar el parámetro $$ t $$ y expresar $$ y $$ en términos de $$ x $$ o viceversa. A continuación, se resuelven ambos incisos:

### 1.(a) $$ x(t) = \sqrt{2t + 4} $$, $$ y(t) = 2t + 1 $$, para $$ -2 \leq t \leq 6 $$

**Paso 1: Resolver una de las ecuaciones para $$ t $$.**

Tomemos la ecuación de $$ y(t) $$:
$$
y = 2t + 1
$$
Despejamos $$ t $$:
$$
t = \frac{y - 1}{2}
$$

**Paso 2: Sustituir $$ t $$ en la ecuación de $$ x(t) $$.**
$$
x = \sqrt{2t + 4} = \sqrt{2\left(\frac{y - 1}{2}\right) + 4} = \sqrt{(y - 1) + 4} = \sqrt{y + 3}
$$

**Paso 3: Expresar la relación entre $$ x $$ y $$ y $$.**
$$
x = \sqrt{y + 3} \quad \Rightarrow \quad x^2 = y + 3
$$
Por lo tanto, la ecuación cartesiana es:
$$
y = x^2 - 3
$$

**Dominio:**
Dado que $$ x(t) = \sqrt{2t + 4} $$, el radicando debe ser no negativo:
$$
2t + 4 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad t \geq -2
$$
Como $$ t $$ está en el intervalo $$ -2 \leq t \leq 6 $$, cuando $$ t = -2 $$:
$$
x = \sqrt{2(-2) + 4} = \sqrt{0} = 0
$$
Y cuando $$ t = 6 $$:
$$
x = \sqrt{2(6) + 4} = \sqrt{16} = 4
$$
Por lo tanto, el dominio de $$ x $$ es $$ 0 \leq x \leq 4 $$.

### 1.(b) $$ x(t) = 4\cos t $$, $$ y(t) = 3\sin t $$, para $$ 0 \leq t \leq 2\pi $$

Este es un caso clásico de parametrización de una elipse.

**Paso 1: Dividir cada ecuación por el coeficiente del coseno o seno.**
$$
\frac{x}{4} = \cos t \quad \text{y} \quad \frac{y}{3} = \sin t
$$

**Paso 2: Utilizar la identidad trigonométrica $$ \cos^2 t + \sin^2 t = 1 $$.**
$$
\left(\frac{x}{4}\right)^2 + \left(\frac{y}{3}\right)^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1
$$

**Paso 3: Simplificar la ecuación.**
$$
\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1
$$

Por lo tanto, la ecuación cartesiana es:
$$
\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1
$$

**Interpretación:**
Esta es la ecuación de una elipse con centro en el origen, semieje mayor de longitud 4 en el eje $$ x $$ y semieje menor de longitud 3 en el eje $$ y $$.
Para convertir las ecuaciones paramétricas a cartesianas, elimina el parámetro $$ t $$ y expresa $$ y $$ en términos de $$ x $$ o viceversa. 1. **(a)** - $$ x = \sqrt{2t + 4} $$ - $$ y = 2t + 1 $$ - Despejando $$ t $$ de la ecuación de $$ y $$: $$ t = \frac{y - 1}{2} $$ - Sustituyendo en $$ x $$: $$ x = \sqrt{y + 3} $$ - Ecuación cartesiana: $$ y = x^2 - 3 $$ con $$ 0 \leq x \leq 4 $$ 2. **(b)** - $$ x = 4\cos t $$ - $$ y = 3\sin t $$ - Dividiendo por 4 y 3 respectivamente: $$ \frac{x}{4} = \cos t $$ y $$ \frac{y}{3} = \sin t $$ - Usando la identidad $$ \cos^2 t + \sin^2 t = 1 $$: $$ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 $$ - Ecuación cartesiana: $$ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 $$, que representa una elipse.

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