On considère la suite $$ \left(U_{n}\right)_{n} $$ définie par: $$ U_{o}=-\frac{1}{2} $$ et $$ U_{n+1}=\frac{3 U_{n}+2}{2 U_{n}+3} $$ 1) montrer que $$ \left(U_{n}\right)_{n} $$ est minorée par -1 2) montrer que $$ (\forall n \in \mathbb{N}) \quad U_{n}

Question

On considère la suite $$ \left(U_{n}\right)_{n} $$ définie par: $$ U_{o}=-\frac{1}{2} $$ et $$ U_{n+1}=\frac{3 U_{n}+2}{2 U_{n}+3} $$ 1) montrer que $$ \left(U_{n}\right)_{n} $$ est minorée par -1 2) montrer que $$ (\forall n \in \mathbb{N}) \quad U_{n}<1 $$

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Pour démontrer les propriétés demandées concernant la suite $$ (U_n)_{n} $$ définie par $$ U_{0} = -\frac{1}{2} $$ et $$ U_{n+1} = \frac{3U_{n} + 2}{2U_{n} + 3} $$, nous utiliserons le principe de récurrence. ### 1) La suite $$ (U_n)_{n} $$ est minorée par $$-1$$ **Base de récurrence :** Pour $$ n = 0 $$, $$ U_0 = -\frac{1}{2} \geq -1 $$ La propriété est donc vraie pour $$ n = 0 $$. **Hérédité :** Supposons que pour un entier $$ n \geq 0 $$, $$ U_n \geq -1 $$. Montrons que $$ U_{n+1} \geq -1 $$. Calculons $$ U_{n+1} $$ : $$ U_{n+1} = \frac{3U_n + 2}{2U_n + 3} $$ Étant donné que $$ U_n \geq -1 $$, évaluons le dénominateur : $$ 2U_n + 3 \geq 2(-1) + 3 = 1 > 0 $$ Le dénominateur est strictement positif. Nous devons montrer que : $$ \frac{3U_n + 2}{2U_n + 3} \geq -1 $$ Multipliant les deux côtés par le dénominateur positif $$ 2U_n + 3 $$ (sans inversion du signe) : $$ 3U_n + 2 \geq - (2U_n + 3) $$ $$ 3U_n + 2 \geq -2U_n - 3 $$ $$ 3U_n + 2U_n \geq -3 - 2 $$ $$ 5U_n \geq -5 $$ $$ U_n \geq -1 $$ Ce qui est vrai par hypothèse de récurrence. **Conclusion :** Par le principe de récurrence, la suite $$ (U_n)_{n} $$ est minorée par $$-1$$ pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$. ### 2) Pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$, $$ U_n < 1 $$ **Base de récurrence :** Pour $$ n = 0 $$, $$ U_0 = -\frac{1}{2} < 1 $$ La propriété est donc vraie pour $$ n = 0 $$. **Hérédité :** Supposons que pour un entier $$ n \geq 0 $$, $$ U_n < 1 $$. Montrons que $$ U_{n+1} < 1 $$. Calculons $$ U_{n+1} $$ : $$ U_{n+1} = \frac{3U_n + 2}{2U_n + 3} $$ Étant donné que $$ U_n < 1 $$ et $$ U_n \geq -1 $$ (d'après la première partie), évaluons le dénominateur : $$ 2U_n + 3 \geq 2(-1) + 3 = 1 > 0 $$ Le dénominateur est strictement positif. Nous devons montrer que : $$ \frac{3U_n + 2}{2U_n + 3} < 1 $$ Multipliant les deux côtés par le dénominateur positif $$ 2U_n + 3 $$ (sans inversion du signe) : $$ 3U_n + 2 < 2U_n + 3 $$ $$ 3U_n - 2U_n < 3 - 2 $$ $$ U_n < 1 $$ Ce qui est vrai par hypothèse de récurrence. **Conclusion :** Par le principe de récurrence, la suite $$ (U_n)_{n} $$ vérifie $$ U_n < 1 $$ pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$. La suite $$ (U_n)_{n} $$ est minorée par $$-1$$ et pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$, $$ U_n < 1 $$.

On considère la suite \( \left(U_{n}\right)_{n} \) définie par: \( U_{o}=-\frac{1}{2} \) et \( U_{n+1}=\frac{3 U_{n}+2}{2 U_{n}+3} \) 1) montrer que \( \left(U_{n}\right)_{n} \) est minorée par -1 2) montrer que \( (\forall n \in \mathbb{N}) \quad U_{n}<1 \)

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