62 Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de estos triángulos rectángulos. a. Cateto $$ b=28 \mathrm{~cm} $$, cateto $$ c $$ $$ =45 \mathrm{~cm} $$ b. Hipotenusa $$ a=73 \mathrm{~cm} $$, cateto $$ b=48 \mathrm{~cm} $$ c. Hipotenusa $$ a=15 \mathrm{~cm} $$, cateto $$ c=12 \mathrm{~cm} $$

Question

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Claro, vamos a calcular las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de los ángulos agudos para cada uno de los triángulos rectángulos proporcionados.

## a. Triángulo rectángulo con catetos $$ b = 28 \, \text{cm} $$ y $$ c = 45 \, \text{cm} $$

### Paso 1: Calcular la hipotenusa $$ a $$
Utilizamos el teorema de Pitágoras:
$$
a = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{28^2 + 45^2} = \sqrt{784 + 2025} = \sqrt{2809} = 53 \, \text{cm}
$$

### Paso 2: Calcular las razones trigonométricas para cada ángulo agudo

#### Ángulo $$ \alpha $$ opuesto al cateto $$ b = 28 \, \text{cm} $$:
$$
\begin{align*}
\sin \alpha &= \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{28}{53} \
\cos \alpha &= \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{45}{53} \
\tan \alpha &= \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} = \frac{28}{45}
\end{align*}
$$

#### Ángulo $$ \beta $$ opuesto al cateto $$ c = 45 \, \text{cm} $$:
$$
\begin{align*}
\sin \beta &= \frac{45}{53} \
\cos \beta &= \frac{28}{53} \
\tan \beta &= \frac{45}{28}
\end{align*}
$$

## b. Triángulo rectángulo con hipotenusa $$ a = 73 \, \text{cm} $$ y cateto $$ b = 48 \, \text{cm} $$

### Paso 1: Calcular el otro cateto $$ c $$
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
$$
c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{73^2 - 48^2} = \sqrt{5329 - 2304} = \sqrt{3025} = 55 \, \text{cm}
$$

### Paso 2: Calcular las razones trigonométricas para cada ángulo agudo

#### Ángulo $$ \alpha $$ opuesto al cateto $$ b = 48 \, \text{cm} $$:
$$
\begin{align*}
\sin \alpha &= \frac{48}{73} \
\cos \alpha &= \frac{55}{73} \
\tan \alpha &= \frac{48}{55}
\end{align*}
$$

#### Ángulo $$ \beta $$ opuesto al cateto $$ c = 55 \, \text{cm} $$:
$$
\begin{align*}
\sin \beta &= \frac{55}{73} \
\cos \beta &= \frac{48}{73} \
\tan \beta &= \frac{55}{48}
\end{align*}
$$

## c. Triángulo rectángulo con hipotenusa $$ a = 15 \, \text{cm} $$ y cateto $$ c = 12 \, \text{cm} $$

### Paso 1: Calcular el otro cateto $$ b $$
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
$$
b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \, \text{cm}
$$

### Paso 2: Calcular las razones trigonométricas para cada ángulo agudo

#### Ángulo $$ \alpha $$ opuesto al cateto $$ b = 9 \, \text{cm} $$:
$$
\begin{align*}
\sin \alpha &= \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \
\cos \alpha &= \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \
\tan \alpha &= \frac{9}{12} = \frac{3}{4}
\end{align*}
$$

#### Ángulo $$ \beta $$ opuesto al cateto $$ c = 12 \, \text{cm} $$:
$$
\begin{align*}
\sin \beta &= \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \
\cos \beta &= \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \
\tan \beta &= \frac{12}{9} = \frac{4}{3}
\end{align*}
$$

---

**Resumen de las razones trigonométricas:**

### a. Catetos $$ b = 28 \, \text{cm} $$, $$ c = 45 \, \text{cm} $$, hipotenusa $$ a = 53 \, \text{cm} $$
- **Ángulo $$ \alpha $$:**
  - $$ \sin \alpha = \frac{28}{53} $$
  - $$ \cos \alpha = \frac{45}{53} $$
  - $$ \tan \alpha = \frac{28}{45} $$
  
- **Ángulo $$ \beta $$:**
  - $$ \sin \beta = \frac{45}{53} $$
  - $$ \cos \beta = \frac{28}{53} $$
  - $$ \tan \beta = \frac{45}{28} $$

### b. Hipotenusa $$ a = 73 \, \text{cm} $$, cateto $$ b = 48 \, \text{cm} $$, cateto $$ c = 55 \, \text{cm} $$
- **Ángulo $$ \alpha $$:**
  - $$ \sin \alpha = \frac{48}{73} $$
  - $$ \cos \alpha = \frac{55}{73} $$
  - $$ \tan \alpha = \frac{48}{55} $$
  
- **Ángulo $$ \beta $$:**
  - $$ \sin \beta = \frac{55}{73} $$
  - $$ \cos \beta = \frac{48}{73} $$
  - $$ \tan \beta = \frac{55}{48} $$

### c. Hipotenusa $$ a = 15 \, \text{cm} $$, cateto $$ c = 12 \, \text{cm} $$, cateto $$ b = 9 \, \text{cm} $$
- **Ángulo $$ \alpha $$:**
  - $$ \sin \alpha = \frac{3}{5} $$
  - $$ \cos \alpha = \frac{4}{5} $$
  - $$ \tan \alpha = \frac{3}{4} $$
  
- **Ángulo $$ \beta $$:**
  - $$ \sin \beta = \frac{4}{5} $$
  - $$ \cos \beta = \frac{3}{5} $$
  - $$ \tan \beta = \frac{4}{3} $$

Espero que esto te sea de ayuda para comprender las razones trigonométricas de cada ángulo en los triángulos rectángulos proporcionados.
Las razones trigonométricas para los ángulos agudos en los triángulos rectángulos son: **a.** - **Ángulo $$ \alpha $$:** - $$ \sin \alpha = \frac{28}{53} $$ - $$ \cos \alpha = \frac{45}{53} $$ - $$ \tan \alpha = \frac{28}{45} $$ - **Ángulo $$ \beta $$:** - $$ \sin \beta = \frac{45}{53} $$ - $$ \cos \beta = \frac{28}{53} $$ - $$ \tan \beta = \frac{45}{28} $$ **b.** - **Ángulo $$ \alpha $$:** - $$ \sin \alpha = \frac{48}{73} $$ - $$ \cos \alpha = \frac{55}{73} $$ - $$ \tan \alpha = \frac{48}{55} $$ - **Ángulo $$ \beta $$:** - $$ \sin \beta = \frac{55}{73} $$ - $$ \cos \beta = \frac{48}{73} $$ - $$ \tan \beta = \frac{55}{48} $$ **c.** - **Ángulo $$ \alpha $$:** - $$ \sin \alpha = \frac{3}{5} $$ - $$ \cos \alpha = \frac{4}{5} $$ - $$ \tan \alpha = \frac{3}{4} $$ - **Ángulo $$ \beta $$:** - $$ \sin \beta = \frac{4}{5} $$ - $$ \cos \beta = \frac{3}{5} $$ - $$ \tan \beta = \frac{4}{3} $$

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