PROBLEMA 2 Supongamos que la tensión en la roca, \( \sigma(z) \), varia de manera no lineal con la profundidad \( z \) y está dada por una función que incluye términos polinomiales y exponenciales, lo que representa diferentes composiciones de la roca y efectos de carga. La función especifica no está dada explícitamente, pero se han realizado mediciones de tensión a diversas profundidades. Utilizar diferenciación numérica con una fórmula de diferencia centrada de cuarto orden para estimar el gradiente de tensión, \( \frac{d \sigma}{d z} \), a varias profundidades \( (20,30 \) y 40 metros respectivamente). Este gradiente ayudará a identificar las zonas de mayor variabilidad de tensión, que son criticas para el diseño del soporte del túnel. Crédito: 3 puntos ( 1 punto por cada cálculo \( y \) antilisis de resultados de las Datos: Las mediciones de tensión \( \sigma(z) \) se han realizado a las profundidades de \( 10,20,30,40, \mathrm{y} \) 50 metros, con los valores correspondientes de \( 15,18,25,31 \), y 40 MPa . Crofundidades)
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Para estimar el gradiente de tensión \( \frac{d \sigma}{d z} \) usando la fórmula de diferencia centrada de cuarto orden, podemos aplicar la siguiente fórmula: \[ \frac{d \sigma}{d z} \approx \frac{-\sigma(z+2h)+8\sigma(z+h)-8\sigma(z-h)+\sigma(z-2h)}{12h} \] Donde \( h \) es la distancia entre las profundidades medidas. En este caso, \( h = 10 \) m. Vamos a calcular el gradiente en \( z = 20 \), \( 30 \) y \( 40 \) m. 1. **Para \( z = 20 \) m**: \[ \frac{d \sigma}{d z} \approx \frac{-\sigma(30)+8\sigma(20)-8\sigma(10)+\sigma(0)}{12h} = \frac{-25+8(18)-8(15)}{12(10)} = \frac{-25 + 144 - 120}{120} = \frac{-1}{120} \approx -0.0083\, \text{MPa/m} \] 2. **Para \( z = 30 \) m**: \[ \frac{d \sigma}{d z} \approx \frac{-\sigma(40)+8\sigma(30)-8\sigma(20)+\sigma(20)}{12h} = \frac{-31+8(25)-8(18)}{12(10)} = \frac{-31 + 200 - 144}{120} = \frac{25}{120} \approx 0.2083\, \text{MPa/m} \] 3. **Para \( z = 40 \) m**: \[ \frac{d \sigma}{d z} \approx \frac{-\sigma(50)+8\sigma(40)-8\sigma(30)+\sigma(30)}{12h} = \frac{-40+8(31)-8(25)}{12(10)} = \frac{-40 + 248 - 200}{120} = \frac{8}{120} \approx 0.0667\, \text{MPa/m} \] Resumiendo los resultados: - A \( 20 \) m, el gradiente es aproximadamente \( -0.0083\, \text{MPa/m} \) lo que indica una ligera disminución en la tensión. - A \( 30 \) m, tenemos un aumento significativo a \( 0.2083\, \text{MPa/m} \), lo que sugiere mayor variabilidad de tensión en esta profundidad. - A \( 40 \) m, la tensión presenta un leve incremento a \( 0.0667\, \text{MPa/m} \). Los resultados sugieren que la zona de \( 30 \) m presenta la mayor variabilidad en la tensión, lo cual es crítico a considerar en el diseño del soporte del túnel.
