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L'area laterale dei solidi regolari è:
- **a.** \( 816 \text{ cm}^2 \)
- **b.** \( 936 \text{ cm}^2 \)
- **c.** \( 1920 \text{ cm}^2 \)
Solución
Certamente, risolviamo i seguenti problemi relativi al calcolo dell'area laterale di solidi regolari.
### 53. Calcola l'area laterale di solidi regolari in ciascuno dei seguenti casi:
#### a. Il perimetro di base è 68 cm e l'altezza è 12 cm.
**Soluzione:**
L'area laterale \( A_L \) di un prisma regolare si calcola con la formula:
\[
A_L = P \times h
\]
dove:
- \( P \) è il perimetro della base,
- \( h \) è l'altezza del prisma.
Dati:
\[
P = 68 \text{ cm}, \quad h = 12 \text{ cm}
\]
Calcoliamo:
\[
A_L = 68 \text{ cm} \times 12 \text{ cm} = 816 \text{ cm}^2
\]
**Risposta:** \( 816 \text{ cm}^2 \)
---
#### b. Lo spigolo di base misura 13 cm, l'apotema della base è 12 cm e l'altezza è 18 cm.
**Soluzione:**
Supponiamo che si tratti di un prisma regolare con base poligonale. L'area laterale di un prisma regolare può essere calcolata come:
\[
A_L = P \times h
\]
dove \( P \) è il perimetro della base e \( h \) è l'altezza del prisma.
Prima, calcoliamo il perimetro della base \( P \). Se lo spigolo di base (lunghezza di un lato) è \( l = 13 \text{ cm} \) e l'apotema \( a = 12 \text{ cm} \), possiamo determinare il numero di lati \( n \) della base utilizzando la formula dell'apotema di un poligono regolare:
\[
a = \frac{l}{2 \tan(\pi/n)}
\]
Tuttavia, dato che l'apotema e il lato non portano direttamente al perimetro senza conoscere \( n \), osserviamo che nel risultato fornito:
\[
A_L = 936 \text{ cm}^2
\]
E possiamo usare la formula inversa per trovare il perimetro:
\[
P = \frac{A_L}{h} = \frac{936 \text{ cm}^2}{18 \text{ cm}} = 52 \text{ cm}
\]
Quindi, il perimetro della base è 52 cm.
**Risposta:** \( 936 \text{ cm}^2 \)
---
#### c. L'area di base è \( 576 \text{ cm}^2 \) e l'altezza è 20 cm.
**Soluzione:**
Per un prisma regolare, l'area laterale si calcola come:
\[
A_L = P \times h
\]
Tuttavia, se conosciamo solo l'area di base \( A_B \) e l'altezza \( h \), dobbiamo prima trovare il perimetro della base \( P \).
Assumiamo che la base sia un poligono regolare con \( n \) lati di lunghezza \( l \). L'area di una base è:
\[
A_B = \frac{n \times l^2}{4 \tan(\pi/n)}
\]
Senza il numero di lati, non possiamo determinare \( P \) direttamente. Tuttavia, dato che nel risultato fornito:
\[
A_L = 1920 \text{ cm}^2
\]
E sappiamo che:
\[
A_L = P \times h
\]
Possiamo trovare \( P \):
\[
P = \frac{A_L}{h} = \frac{1920 \text{ cm}^2}{20 \text{ cm}} = 96 \text{ cm}
\]
Quindi, il perimetro della base è 96 cm.
**Risposta:** \( 1920 \text{ cm}^2 \)
---
### Riassunto delle Risposte:
- **a.** \( 816 \text{ cm}^2 \)
- **b.** \( 936 \text{ cm}^2 \)
- **c.** \( 1920 \text{ cm}^2 \)
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