Bestimme den Abstand des Punktes \( P(11|10| 0) \) von der Ebene E : \( -4 x_{1}-3 x_{2}=-24 \). Berechne dabei auch den Lotfußpunkt. \[ \mathrm{d}=\square \] Lotfußpunkt \( \mathrm{L}:(\square|\square| \square) \)

Um den Abstand des Punktes \( P(11\,|\,10\,|\,0) \) von der Ebene \( E: -4x_{1} - 3x_{2} = -24 \) sowie den Lotfußpunkt \( \mathrm{L} \) zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor: ### Schritt 1: Normalenvektor der Ebene Die Ebenengleichung kann in die Normalenform gebracht werden: \[ -4x - 3y + 0z = -24 \] Der Normalenvektor \( \vec{n} \) ist somit: \[ \vec{n} = (-4,\, -3,\, 0) \] ### Schritt 2: Abstand berechnen Der Abstand \( d \) eines Punktes \( P(x_0\,|\,y_0\,|\,z_0) \) von der Ebene \( ax + by + cz + d = 0 \) wird mit der Formel berechnet: \[ d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Setzen wir die Werte ein: \[ a = -4,\; b = -3,\; c = 0,\; d = 24 \] \[ d = \frac{|-4 \cdot 11 - 3 \cdot 10 + 0 \cdot 0 + 24|}{\sqrt{(-4)^2 + (-3)^2 + 0^2}} = \frac{|-44 - 30 + 24|}{5} = \frac{|-50|}{5} = 10 \] ### Schritt 3: Lotfußpunkt \( \mathrm{L} \) berechnen Der Lotfußpunkt \( \mathrm{L} \) kann mit der Formel \[ \mathrm{L} = P + t \cdot \vec{n} \] bestimmt werden, wobei \[ t = \frac{-(\vec{n} \cdot \vec{P} + d)}{|\vec{n}|^2} = \frac{-((-4)(11) + (-3)(10) + 0 \cdot 0 + 24)}{(-4)^2 + (-3)^2 + 0^2} = \frac{50}{25} = 2 \] Somit: \[ \mathrm{L} = (11,\,10,\,0) + 2 \cdot (-4,\, -3,\, 0) = (11 - 8,\, 10 - 6,\, 0 + 0) = (3\,|\,4\,|\,0) \] ### Ergebnis \[ \mathrm{d}=10 \] Lotfußpunkt \( \mathrm{L}:(3\,|\,4\,|\,0) \)