Aufgabe: \( (2 \) Punkte) Bestimme den Abstand des Punktes P(5|12|24) von der Ebene E: \( -2 x_{1}+6 x_{2}+9 x_{3}=36 \). Berechne dabei auch den Lotfußpunkt. Lotfußpunkt L:(

Um den Abstand des Punktes \( P(5|12|24) \) von der Ebene \( E: -2 x_{1}+6 x_{2}+9 x_{3}=36 \) zu bestimmen, verwenden wir die Formel für den Abstand \( d \) eines Punkts \( P(x_0, y_0, z_0) \) von der Ebene \( Ax + By + Cz + D = 0 \): \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Zuerst bringen wir die Ebenengleichung in die Form \( Ax + By + Cz + D = 0 \): \[ -2 x_{1} + 6 x_{2} + 9 x_{3} - 36 = 0 \quad \Rightarrow \quad A = -2, B = 6, C = 9, D = -36 \] Jetzt setzen wir die Koordinaten von \( P(5|12|24) \) in die Abstandsformel ein: \[ d = \frac{|-2 \cdot 5 + 6 \cdot 12 + 9 \cdot 24 - 36|}{\sqrt{(-2)^2 + 6^2 + 9^2}} = \frac{|-10 + 72 + 216 - 36|}{\sqrt{4 + 36 + 81}} = \frac{|242|}{\sqrt{121}} = \frac{242}{11} = 22 \] Der Abstand beträgt also \( 22 \) Einheiten. Jetzt berechnen wir den Lotfußpunkt \( L \). Dafür benötigen wir den Richtungsvektor der Normalen der Ebene \( \vec{n} = (-2, 6, 9) \). Wir finden den Lotfußpunkt, indem wir vom Punkt \( P \) entlang der Normalen der Ebene in die Richtung der negativen Normalen gehen: \[ L = P + t \cdot \vec{n} \] wobei \( t \) die Länge des Abstands \( d \) ist. Die Gleichung für \( L \) lautet also: \[ L = (5, 12, 24) + 22 \cdot \frac{(-2, 6, 9)}{\sqrt{(-2)^2 + 6^2 + 9^2}} = (5, 12, 24) + 22 \cdot \frac{(-2, 6, 9)}{11} = \left(5 - 4, 12 + 12, 24 + 18\right) = (1, 24, 42) \] Der Lotfußpunkt \( L \) ist also: \[ L: (1|24|42) \] Zusammengefasst: Der Abstand von \( P \) zur Ebene ist \( 22 \) und der Lotfußpunkt \( L \) ist \( (1|24|42) \).