92 Démontrer que les droites \( (D) \) et ( \( D^{\prime} \) ) sont sécantes. 1. (D) \( \left\{\begin{array}{l}x=-3+2 t \\ y=-1+t \\ z=2-3 t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right. \) et ( \( \left.D^{\prime}\right)\left\{\begin{array}{l}x=-1+t^{\prime} \\ y=-t^{\prime} \\ z=-1-t^{\prime}\end{array}, t^{\prime} \in \mathbb{R}\right. \).

Pour démontrer que les droites \( (D) \) et \( (D^{\prime}) \) sont sécantes, nous allons les mettre sous la forme paramétrique et chercher un point d'intersection. Les équations des droites s'écrivent donc : 1. Pour \( (D) \) : \( x = -3 + 2t, \; y = -1 + t, \; z = 2 - 3t \) 2. Pour \( (D^{\prime}) \) : \( x = -1 + t^{\prime}, \; y = -t^{\prime}, \; z = -1 - t^{\prime} \) Nous établirons d'abord un système d'équations en égalant \( x, y, z \) des deux droites pour des valeurs \( t \) et \( t^{\prime} \) appropriées. En égalant les coordonnées \( x \) : \[ -3 + 2t = -1 + t^{\prime} \quad (1) \] Pour \( y \) : \[ -1 + t = -t^{\prime} \quad (2) \] Et pour \( z \) : \[ 2 - 3t = -1 - t^{\prime} \quad (3) \] Résolvons le système. À partir de la première équation \( (1) \) : \[ t^{\prime} = 2t - 2 \quad (4) \] Substituons \( t^{\prime} \) de \( (4) \) dans la deuxième équation \( (2) \) : \[ -1 + t = -(2t - 2) \] \[ -1 + t = -2t + 2 \] \[ 3t = 3 \rightarrow t = 1 \] Remplaçons \( t \) dans \( (4) \) pour trouver \( t^{\prime} \) : \[ t^{\prime} = 2(1) - 2 = 0 \] Enfin, substituons \( t = 1 \) dans les équations de \( (D) \) et \( t^{\prime} = 0 \) dans celles de \( (D^{\prime}) \) pour trouver un point commun. Pour \( t = 1 \) dans \( (D) \) : \[ x = -3 + 2(1) = -1, \; y = -1 + 1 = 0, \; z = 2 - 3(1) = -1 \] Donc, le point est \( (-1, 0, -1) \). Pour \( t^{\prime} = 0 \) dans \( (D^{\prime}) \) : \[ x = -1 + 0 = -1, \; y = -0 = 0, \; z = -1 - 0 = -1 \] On obtient le même point \( (-1, 0, -1) \). Puisque nous avons trouvé un point d'intersection avec \( (D) \) et \( (D^{\prime}) \) en un seul point, nous avons démontré que ces droites sont sécantes.