Déterminer le graphe ainsi que l'image (a) \( x \mapsto 2-\sqrt{-x^{2}-6 x-5} \)

Pour déterminer le graphe de la fonction \( x \mapsto 2 - \sqrt{-x^{2} - 6x - 5} \), commençons par simplifier l'expression sous la racine. On réécrit \( -x^{2} - 6x - 5 \) en complétant le carré : \(-x^{2} - 6x - 5 = - (x^{2} + 6x + 5) = -((x+3)^{2} - 9 - 5) = -((x+3)^{2} - 14) = 14 - (x+3)^{2}\). Cette forme est importante pour comprendre le domaine de la fonction, car l'expression sous la racine doit être non négative, soit \( 14 - (x + 3)^{2} \geq 0 \). Ce qui implique que \((x + 3)^{2} \leq 14\). En prenant la racine carrée, cela donne un intervalle : \(-\sqrt{14} - 3 \leq x \leq \sqrt{14} - 3\). L'image de la fonction est alors obtenue en analysant l'expression entière, \(2 - \sqrt{14 - (x+3)^{2}}\). La valeur maximale de \(\sqrt{14 - (x+3)^{2}}\) est de \(\sqrt{14}\) lorsqu'on évalue à \(x = -3\). Ainsi, l'image de la fonction est comprise entre \(2 - \sqrt{14}\) et \(2\). Pour résumer, le graphe est une courbe qui s'élève et redescend avec un sommet à \(x = -3\), et l'image varie de \([2 - \sqrt{14}, 2]\).