Déterminer le graphe ainsi que l'image (a) $$ x \mapsto 2-\sqrt{-x^{2}-6 x-5} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour déterminer le graphe de la fonction $$ f(x) = 2 - \sqrt{ -x^{2} - 6x - 5 } $$ ainsi que son image, procédons étape par étape.

## 1. Domaine de Définition

L'expression sous la racine carrée doit être non négative pour que la fonction soit définie :

$$
- x^{2} - 6x - 5 \geq 0
$$

Multipliant par $$-1$$ (en inversant le sens de l'inégalité) :

$$
x^{2} + 6x + 5 \leq 0
$$

Factorisons le trinôme :

$$
x^{2} + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5)
$$

L'inégalité $$(x + 1)(x + 5) \leq 0$$ est satisfaite pour $$ x $$ dans l'intervalle fermé $$[-5, -1]$$.

**Domaine de définition** : $$ x \in [-5, -1] $$

## 2. Simplification de l'Expression

Réécrivons l'expression sous la racine en complétant le carré :

$$
x^{2} + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4
$$

Ainsi,

$$
- x^{2} - 6x - 5 = -\left( (x + 3)^2 - 4 \right) = - (x + 3)^2 + 4
$$

La fonction devient alors :

$$
f(x) = 2 - \sqrt{4 - (x + 3)^2}
$$

## 3. Interprétation Géométrique

L'équation peut être mise sous la forme d'un cercle :

$$
(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4
$$

Ceci représente un cercle de **centre** $$(-3, 2)$$ et de **rayon** $$2$$.

Cependant, la fonction $$ f(x) = 2 - \sqrt{4 - (x + 3)^2} $$ correspond uniquement à la **moitié inférieure** de ce cercle, car elle soustrait la racine carrée de $$2$$.

## 4. Graphe de la Fonction

Le graphe de $$ f(x) $$ est donc le **demi-cercle inférieur** centré en $$(-3, 2)$$ avec un rayon de $$2$$, restreint au domaine $$ x \in [-5, -1] $$.

![Graphe de la fonction](https://i.imgur.com/YourGraphImageLink.png) *(Remplacer par une image appropriée si nécessaire)*

## 5. Image de la Fonction

Analysons les valeurs de $$ y $$ :

$$
y = 2 - \sqrt{4 - (x + 3)^2}
$$

La racine carrée $$\sqrt{4 - (x + 3)^2}$$ varie entre $$0$$ et $$2$$ (car $$(x + 3)^2 \leq 4$$).

Donc :

$$
2 - 2 \leq y \leq 2 - 0 \implies 0 \leq y \leq 2
$$

**Image** : $$ y \in [0, 2] $$

## Conclusion

- **Graphe** : Demi-cercle inférieur du cercle de centre $$(-3, 2)$$ et de rayon $$2$$, défini pour $$ x \in [-5, -1] $$.
- **Image** : Ensemble des valeurs $$ y $$ comprises entre $$0$$ et $$2$$, c’est-à-dire $$ y \in [0, 2] $$.
Le graphe de la fonction $$ f(x) = 2 - \sqrt{ -x^{2} - 6x - 5 } $$ est un demi-cercle inférieur centré en $$(-3, 2)$$ avec un rayon de $$2$$, défini pour $$ x $$ entre $$-5$$ et $$-1$$. L'image de la fonction est l'intervalle $$[0, 2]$$.

Déterminer le graphe ainsi que l’image
(a)

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