En un centro médico se disponen de tres equipos electrónicos para realizar mamografias, el primer equipo realiza el \( 25 \% \) de los exdmenes, el segundo el \( 35 \% \) y el tercero un \( 40 \% \). Los equipos tienen una probabilidad de error de \( 1 \% \), \( 2 \% \) y \( 3 \% \), respectivamente. Si el resultado de un examen de un paciente tiene error, ccuál es ta probabilidad que el primer equipo haya realizado el examen?

Para resolver este problema, se puede utilizar el teorema de Bayes. Primero, calculemos la probabilidad total de que un examen tenga un error (\(P(E)\)). Utilizando las proporciones y las probabilidades de error de cada equipo, tenemos: \[ P(E) = P(E|A)P(A) + P(E|B)P(B) + P(E|C)P(C) \] Donde: - \(P(A) = 0.25\) (probabilidad de que el primer equipo haya realizado el examen) - \(P(B) = 0.35\) - \(P(C) = 0.40\) Las probabilidades de error correspondiente son: - \(P(E|A) = 0.01\) - \(P(E|B) = 0.02\) - \(P(E|C) = 0.03\) Así que computamos: \[ P(E) = (0.01)(0.25) + (0.02)(0.35) + (0.03)(0.40) = 0.0025 + 0.007 + 0.012 = 0.0215 \] Ahora, para encontrar la probabilidad de que el primer equipo haya realizado el examen dado que hubo un error, aplicamos el teorema de Bayes: \[ P(A|E) = \frac{P(E|A)P(A)}{P(E)} = \frac{(0.01)(0.25)}{0.0215} \approx 0.1163 \] Entonces, la probabilidad de que el primer equipo haya realizado el examen dado que hubo un error es aproximadamente \(11.63\% \).