Demuestra que \( \tan(\arctan(x)) = x \) para cualquier número real \( x \).

Para demostrar que \( \tan(\arctan(x)) = x \) para cualquier número real \( x \), sigamos los siguientes pasos: **Paso 1: Definición de la función arctan** La función arctan, también conocida como la función inversa de la tangente, se define de tal manera que si \( \theta = \arctan(x) \), entonces: \[ \tan(\theta) = x \] y \( \theta \) pertenece al intervalo \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \). **Paso 2: Aplicación de la tangente a ambos lados** Consideremos la ecuación \( \theta = \arctan(x) \). Aplicando la función tangente a ambos lados obtenemos: \[ \tan(\theta) = \tan(\arctan(x)) \] Pero sabemos por la definición de arctan que \( \tan(\theta) = x \). Por lo tanto: \[ \tan(\arctan(x)) = x \] **Conclusión** Hemos demostrado que aplicar la función tangente a su función inversa arctan recupera el valor original \( x \), es decir: \[ \tan(\arctan(x)) = x \] para cualquier número real \( x \).